1福島県立医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) $111_{(n)}=n^2+n+1$ だから $$\displaystyle \sum\limits _{n=2}^{10}111_{(n)}=384+54+9=447 =3\cdot5^3+2\cdot5^2+4\cdot5+2,$$ よって $\boxed{3242_{(5)}}$。

(2) $h=f-g$ とおくと次数は高々 $n$ で、相異なる $n+1$ 個の $x_k$ が根である。因数定理より $h$ は $n+1$ 個の一次因子を持つ。次数との比較から $h\equiv0$、従って $\boxed{f(x)=g(x)}$。

(3) 原点では $$\displaystyle f'(0)=\lim\limits _{h\to0}\frac{h^2\cos(1/h)}h=0$$ （絶対値が $|h|$ 以下）。$x\ne0$ では $$f'(x)=2x\cos(1/x)+\sin(1/x).$$ これは $x\ne0$ で連続だが、$x_k=(2\pi k+\pi/2)^{-1}$ では $f'(x_k)\to1$、$y_k=(2\pi k+3\pi/2)^{-1}$ では $f'(y_k)\to-1$。従って導関数は全実数で存在し、$0$ で不連続である。

(4) 積の素因数は $2,3,5$ のみ。約数個数 $(a+1)(b+1)(c+1)=6$ となる指数型は $p^5$ と $p^2q\ (p\ne q)$ に限る。 $p^5$ 型では $2^5$ が出る場合、各出目は $1,2,4$。出目4の個数を $r=0,1,2$ とすると、並べ方は $1,20,30$ 通りで合計51。$3^5,5^5$ はそれぞれ1通り。よってこの型は53通り。

$p^2q$ 型を、5個のサイコロの順序付き出目として数える。各行の因数分解の順列数は次の通り。 $$\begin{array}{c|c|c} \text{積}&\text{出目の多重集合}&\text{順列数}\\ \hline 12=2^2\cdot3&\{4,3,1,1,1\},\{2,2,3,1,1\},\{6,2,1,1,1\}&20+30+20=70\\ 18=3^2\cdot2&\{3,3,2,1,1\},\{3,6,1,1,1\}&30+20=50\\ 20=2^2\cdot5&\{4,5,1,1,1\},\{2,2,5,1,1\}&20+30=50\\ 45=3^2\cdot5&\{3,3,5,1,1\}&30\\ 50=5^2\cdot2&\{5,5,2,1,1\}&30\\ 75=5^2\cdot3&\{5,5,3,1,1\}&30 \end{array}$$ 従って $p^2q$ 型は260通り、合計は $$\boxed{53+70+50+50+30+30+30=313\text{ 通り}}.$$ なお旧解説の最終値313は合っているが、内訳の $3^2\cdot2$ を20通り、$5^2\cdot2$ を60通りとした2箇所は誤りで、正しくは各50通り、30通りである。合計では誤差が相殺していた。