4福島県立医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

Pの角速度は $2\pi/(4\pi)=1/2$、速さは $6\cdot1/2=3$。Qも速さが $3$ なので角速度は $3/2$ である。よって $$\displaystyle P=(6\cos\frac t2,6\sin\frac t2),\qquad Q=(2\cos\frac{3t}{2},2\sin\frac{3t}{2}).$$ PR:RQが $3:1$ だから $R=(P+3Q)/4$ であり、和積公式から $$\displaystyle f(t)=3\cos\frac t2\cos t,\qquad g(t)=3\cos\frac t2\sin t.$$ したがって $r(t)=3\cos(t/2)$ とすれば (1) を満たす。

(2) $\alpha=2\arccos(1/\sqrt6)$ とする。微分すると $$\displaystyle f'(t)=-\frac32\sin\frac t2\left(6\cos^2\frac t2-1\right).$$ $0<t<\pi$ で $\sin(t/2)>0$ なので、$f$ は $0\le t\le\alpha$ で減少し、$\alpha\le t\le\pi$ で増加する。端点と臨界点の値は $f(0)=3,\ f(\pi)=0,\ f(\alpha)=-\sqrt{2/3}$。ゆえに最大値は $3$、最小値は $-\sqrt{2/3}$。

$\beta=2\arccos\sqrt{2/3}$ とおくと $$\displaystyle g'(t)=3\cos\frac t2\left(3\cos^2\frac t2-2\right).$$ $0\le t<\pi$ では $\cos(t/2)>0$ で、臨界点は $t=\beta$ のみ。$g$ は $0\le t\le\beta$ で増加し、$\beta\le t\le\pi$ で減少する。$g(0)=g(\pi)=0,\ g(\beta)=4/\sqrt3$ より最大値は $4/\sqrt3$、最小値は $0$。

(3) $0\le t\le\pi$ では $r=3\cos(t/2)\ge0$ で偏角は $t$。曲線は $(3,0)$ から上半平面を通り原点へ至る単純弧である。$t=\pi/2$ では $(x,y)=(0,3/\sqrt2)$、$t=\beta$ では最高点 $(\sqrt{2/3},4/\sqrt3)$、$t=\alpha$ では左端点 $(-\sqrt{2/3},\sqrt{5/6})$ となる。

(4) この弧は極座標で $0\le t\le\pi$ を一度だけたどるから、囲まれた面積は $$\displaystyle \frac12\int_0^\pi r^2\,dt=\frac92\int_0^\pi\cos^2\frac t2\,dt=\frac{9\pi}{4}.$$

(5) 全軌跡は $$\displaystyle (x,y)=\left(3\cos\frac t2\cos t,\ 3\cos\frac t2\sin t\right),\qquad 0\le t\le4\pi.$$ で表され、座標関数の周期は $4\pi$。$0\le t\le2\pi$ の点と $2\pi\le t\le4\pi$ の対応する点は原点対称である。直接パラメータを比較すると、重なる非零点は $(0,3/\sqrt2)$ と $(0,-3/\sqrt2)$、半径 $r=0$ で生じる交点は原点であり、これらが自己交点である。

PとQの角速度・内分点からRの媒介変数表示を得る。微分の符号と端点・臨界点の値で増減と極値を確認し、0≦t≦πの単純な上半平面の弧の座標と極座標面積を求める。最後は4π周期を用い、原点対称な二つの部分とパラメータ重複から全軌跡を記述する。