3福井大学 2024年 数学 第3問解答・解説

$-a<x<a$ で積分を $t=x$ の位置で分けると $$\displaystyle f(x)=\int_{-a}^{x}(x-t)e^{-t^2}\,dt+\int_x^a(t-x)e^{-t^2}\,dt.$$ 微分すると $$\displaystyle f'(x)=\int_{-a}^{x}e^{-t^2}\,dt-\int_x^a e^{-t^2}\,dt,\qquad f''(x)=2e^{-x^2}>0.$$ 従って $-a<x<a$ で下に凸（厳密には $f''>0$）である。

被積分関数の重み $e^{-t^2}$ は偶関数なので $f'(0)=0$。また $f''>0$ より $f'$ はxが大きくなると値が必ず大きくなり、停留点0は唯一の最小点である。最小値は $$\displaystyle f(0)=\int_{-a}^a |t|e^{-t^2}\,dt=2\int_0^a t e^{-t^2}\,dt=1-e^{-a^2}.$$ これが $1/2$ なら $e^{-a^2}=1/2$、よって $a^2=\log2$。$a>0$ から $\boxed{a=\sqrt{\log2}}$。