3東京医科歯科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) $\displaystyle u=\frac{\pi}{2}-x$ と置換する。端点が入れ替わり、$\sin x=\cos u$、$\sin2x=\sin(\pi-2u)=\sin2u$ であるから $$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin2x)\sin x\,dx =\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin2u)\cos u\,du,$$ 所要の等式を得る。

(2) $t=\cos x-\sin x$ と置換すると $$\displaystyle dt=-(\sin x+\cos x)\,dx,\qquad t(0)=1,\quad t\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1,\qquad 1-t^2=1-(\cos x-\sin x)^2=\sin2x.$$ したがって $$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin2x)(\sin x+\cos x)\,dx =\int_{-1}^{1} f(1-t^2)\,dt.$$

(3) $\displaystyle g(u)=\frac1{1+\sqrt{|u|}}\ (u\text{ は実数})$ とおくと、$g$ は連続であり、$0\le u\le1$ では $\displaystyle g(u)=\frac1{1+\sqrt u}$ である。(1)より $$\displaystyle I:=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{1+\sqrt{\sin2x}}\,dx =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+\sqrt{\sin2x}}\,dx.$$ この二式を加え、(2)を $f=g$ として用いると $$\displaystyle 2I=\int_{-1}^{1}\frac{dt}{1+\sqrt{1-t^2}} =2\int_0^1\frac{dt}{1+\sqrt{1-t^2}},$$ 最後の等号は被積分関数が偶関数であることによる。ここで $t=\sin u$ と置けば $$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos u}{1+\cos u}\,du =\frac{\pi}{2}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{1+\cos u}.$$ 半角の公式 $\displaystyle 1+\cos u=2\cos^2\frac u2$ より $$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{1+\cos u} =\left[\tan\frac u2\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=1.$$ よって $\displaystyle I=\frac{\pi}{2}-1$。

(1)は区間の両端を入れ替える対称置換で示す。(2)では t=cos x−sin x と置いて積分区間を−1≦t≦1へ移す。(3)では(1)によりsin xとcos xを分子とする積分が等しいことを使い、(2)で偶関数の積分に直した後、t=sin u と半角公式で評価する。