2東京医科歯科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

線分 $BD$ 上の点を $N=(0,s,1-s)$、$0\leq s\leq1$ と表す。$M=(-1/2,0,1/2)$。$$\overrightarrow{AN}=(-1,s,1-s),\qquad \overrightarrow{NM}=(-1/2,-s,s-1/2)$$ なので、水平距離と高さの差から $$\displaystyle t_1=\frac{1-s}{\sqrt{1+s^2}},\qquad t_2=\frac{s-1/2}{\sqrt{s^2+1/4}}.$$

(1) 分母は正だから $t_2=0$ は $s=1/2$ と同値。このとき $$\displaystyle t_1=\frac{1/2}{\sqrt{5/4}}=\frac1{\sqrt5}.$$

(2) $B$ から $D$ への単位方向 $\boldsymbol e=(0,-1,1)/\sqrt2$ に沿う座標を $\xi$ とする。$N$ の座標は $\xi=\overrightarrow{BN}\cdot\boldsymbol e=\sqrt2(1-s)$。$A,M$ の射影座標は $$\displaystyle \xi_A=\overrightarrow{BA}\cdot\boldsymbol e=\frac1{\sqrt2},\qquad \xi_M=\overrightarrow{BM}\cdot\boldsymbol e=\frac3{2\sqrt2}.$$ $BD$ への垂直距離を $h_A,h_M$ とすると、ピタゴラスの定理から $$\displaystyle h_A^2=|BA|^2-\xi_A^2=2-\frac12=\frac32,\qquad h_M^2=|BM|^2-\xi_M^2=\frac32-\frac98=\frac38.$$ 補助平面に $A'=(\xi_A,h_A),\ M'=(\xi_M,-h_M),\ N'=(\xi,0)$ を置くと、射影成分と垂直成分から $|AN|=|A'N'|$、$|NM|=|N'M'|$。よって三角不等式から $l\geq|A'M'|$。$$\displaystyle \xi_M-\xi_A=\frac1{2\sqrt2},\qquad h_A+h_M=\frac{3\sqrt6}{4}$$ より $$\displaystyle |A'M'|^2=\frac18+\frac{27}{8}=\frac72, \qquad |A'M'|=\frac{\sqrt{14}}2.$$ 線分 $A'M'$ は $h_A=2h_M$ より $A'$ から $2/3$ 進んだところで $\xi$ 軸と交わる。そこで $$\displaystyle \xi_* =\xi_A+\frac23(\xi_M-\xi_A)=\frac{2\sqrt2}{3}.$$ $\xi_* =\sqrt2(1-s)$ から $s=1/3$。これは $0\leq s\leq1$ を満たし、対応する $N'$ は線分 $A'M'$ 上にあるので三角不等式の等号が成立する。従って最小値は $\sqrt{14}/2$。

(3) $0\leq t_2$ は $s\geq1/2$ と同値。線分条件から $s\leq1$ なので $t_1\geq0$ でもある。この範囲で両辺非負のため、$t_2\leq t_1$ を二乗して分母を払うと $$(s-1/2)^2(1+s^2)\leq(1-s)^2(s^2+1/4).$$ 右辺から左辺を引くと $$\displaystyle (1-s)^2(s^2+1/4)-(s-1/2)^2(1+s^2)=\frac{s}{2}(1-2s^2).$$ $s\geq1/2>0$ より、この差が非負であることは $s\leq1/\sqrt2$ と同値。従って必要十分範囲は $$\displaystyle \frac12\leq s\leq\frac1{\sqrt2}.$$

線分BD上の点を $N=(0,s,1-s),\ 0\leq s\leq1$ と表す。$\displaystyle M=(-\frac12,0,\frac12)$。$\displaystyle \overrightarrow{AN}=(-1,s,1-s),\quad\overrightarrow{NM}=(-\frac12,-s,s-\frac12)$ なので水平距離と高さの差から $\displaystyle t_1=\frac{1-s}{\sqrt{1+s^2}},\quad t_2=\frac{s-\frac12}{\sqrt{s^2+\frac14}}$。

(1) 分母は正だから $t_2=0$ は $\displaystyle s=\frac12$ と同値。このとき $\displaystyle t_1=\frac{1/2}{\sqrt{5/4}}=\frac1{\sqrt5}$。

(2) BからDへの単位方向 $\boldsymbol e=(0,-1,1)/\sqrt2$ に沿う座標を ξ とする。Nの座標は $\xi=\overrightarrow{BN}\cdot\boldsymbol e=\sqrt2(1-s)$。A,Mの射影座標は $\displaystyle \xi_A=\overrightarrow{BA}\cdot\boldsymbol e=\frac1{\sqrt2},\quad\xi_M=\overrightarrow{BM}\cdot\boldsymbol e=\frac3{2\sqrt2}$。BDへの垂直距離は、$|BA|^2=2$より $\displaystyle h_A^2=2-\xi_A^2=\frac32$、$\displaystyle |BM|^2=\frac32$より $\displaystyle h_M^2=\frac32-\xi_M^2=\frac38$。

補助平面に $A'=(\xi_A,h_A),\ M'=(\xi_M,-h_M),\ N'=(\xi,0)$ を置くと、射影成分と垂直成分から $|AN|=|A'N'|,\quad|NM|=|N'M'|$。よって三角不等式から $l\geq|A'M'|$。$\displaystyle \xi_M-\xi_A=\frac1{2\sqrt2},\quad h_A+h_M=\frac{3\sqrt6}{4}$ なので $\displaystyle |A'M'|^2=\frac18+\frac{27}{8}=\frac72$、従って $\displaystyle l\geq\frac{\sqrt{14}}2$。線分A'M'は$h_A=2h_M$よりA'から$\displaystyle \frac23$進んだところでξ軸と交わり、そこで $\displaystyle \xi_*=\xi_A+\frac23(\xi_M-\xi_A)=\frac{2\sqrt2}{3}$。$\xi_*=\sqrt2(1-s)$から $\displaystyle s=\frac13$。この値は$0\leq s\leq1$内で、対応するN'は線分A'M'上にあるので三角不等式の等号が成立する。したがって最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{14}}2$。

(3) $0\leq t_2$ は $\displaystyle s\geq\frac12$ と同値。線分条件から$s\leq1$なので$t_1\geq0$でもある。この範囲で両辺非負のため、$t_2\leq t_1$を二乗して分母を払うと $\displaystyle (s-\frac12)^2(1+s^2)\leq(1-s)^2(s^2+\frac14)$。右辺から左辺を引くと $\displaystyle \frac{s}{2}(1-2s^2)$。$\displaystyle s\geq\frac12>0$ より、この差が非負であることは $\displaystyle s\leq\frac1{\sqrt2}$ と同値。従って必要十分範囲は $\displaystyle \frac12\leq s\leq\frac1{\sqrt2}$。