3群馬大学 2023年 数学 第3問解答・解説

大問3

底面 $OABC$ は平行四辺形なので、$O$ を原点とする $\vec a=\overrightarrow{OA}$, $\vec c=\overrightarrow{OC}$, $\vec d=\overrightarrow{OD}$ を基底として点を表す。四角錐が退化しないので $\vec a,\vec c,\vec d$ は一次独立である。

(1)

$X$ は $BD$ を $2:1$ に内分するから $$\displaystyle \overrightarrow{OX}=\frac{\vec a+\vec c+2\vec d}{3}.$$ $Y$ は直線 $OX$ 上にあるので $\overrightarrow{OY}=t\overrightarrow{OX}$ とおく。また、平面 $ACD$ 上の点の $\vec a,\vec c,\vec d$ に関する係数の和は $1$ である。よって $$\displaystyle \frac{t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{2t}{3}=1,$$ したがって $\displaystyle t=\frac34$ である。ゆえに $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{OY}=\frac14\vec a+\frac14\vec c+\frac12\vec d}.$$

(2)

$\displaystyle u=\dfrac{CQ}{CD}$ とおくと $0\leq s,u\leq1$ であり、$P,Q$ の座標はそれぞれ $$P=(1-s,0,s),\qquad Q=(0,1-u,u)$$ となる（座標は順に $\vec a,\vec c,\vec d$ の係数）。$\displaystyle X=(\frac13,\frac13,\frac23)$ である。原点を通る平面 $OXP$ の方程式を $\alpha x+\beta y+\gamma z=0$ とする。$X,P$ を代入すると、例えば $$s x+(2-3s)y-(1-s)z=0$$ を得る。したがって $Q$ がこの平面上にある条件は $$(2-3s)(1-u)-(1-s)u=0, \qquad (3-4s)u=2-3s.$$ $\displaystyle s=\frac34$ では右辺が $\displaystyle -\frac14$ であるため解がなく、それ以外では $$\displaystyle u=\frac{2-3s}{3-4s}.$$ $0\leq s,u\leq1$ を満たす範囲を調べる。$\displaystyle 0\leq s\leq\frac23$ ではこの式は $0\leq u\leq1$ を満たす。$\displaystyle \frac23<s<\frac34$ では $u<0$、$\displaystyle \frac34<s<1$ では $u>1$ となり、$s=1$ のときだけ $u=1$ である。よって $$\displaystyle \boxed{0\leq s\leq\frac23\quad\text{または}\quad s=1}.$$ なお $s=1$ では $P=Q=D$ となる。

(3)

底面の正方形の対角線 $AC=\sqrt2$、かつ $DA=DC=1$ である。余弦定理から $$\displaystyle \cos\angle ADC=\frac{DA^2+DC^2-AC^2}{2\,DA\,DC}=0,$$ したがって $DA\perp DC$ である。$s=1$ は $P=Q=D$ で三角形 $DPQ$ を作らないため、三角形としての面積を考える範囲は $\displaystyle 0\leq s\leq\frac23$ である。このとき $$\displaystyle DP=1-s,\qquad DQ=1-u=\frac{1-s}{3-4s},$$ ゆえに $$\displaystyle [DPQ]=\frac12DP\cdot DQ=\frac{(1-s)^2}{2(3-4s)}.$$ ここで $3-4s>0$ であり、 $$\displaystyle [DPQ]-\frac18 =\frac{(2s-1)^2}{8(3-4s)}\geq0.$$ 等号は $\displaystyle s=\frac12$ のとき成立する（このとき $\displaystyle u=\frac12$）。したがって $$\displaystyle \boxed{[DPQ]_{\min}=\frac18}.$$ もし退化三角形の面積を許す約束を別途採るなら、(2) の孤立解 $s=1$ で面積を $0$ と定義できる。ただし通常の三角形 $DPQ$ としてはこの点は対象外である。