5京都大学 2023年 数学 第5問解答・解説

線分 $PQ$ 上の点を $X=(1-\lambda)P+\lambda Q$（$0\le\lambda\le1$）とする。$r=|OP|$、$|OQ|=1-r$ とおき、$u=|x_X|$、$\rho=\sqrt{y_X^2+z_X^2}$ とすれば $$u=(1-\lambda)r,\qquad \rho=\lambda(1-r).$$ したがって $0<\lambda<1$ では $$\displaystyle \frac{u}{1-\lambda}+\frac{\rho}{\lambda}=r+(1-r)=1.$$ この左辺の $\lambda$ に関する最小値は $(\sqrt u+\sqrt\rho)^2$ である。よって点 $X$ が掃く立体に含まれる条件は $$\sqrt{|x|}+\sqrt{\sqrt{y^2+z^2}}\le1.$$ （境界の場合も $\lambda=0,1$ を含めれば成り立つ。）従って、$-1\le x\le1$ を満たす固定した $x$ における断面は、半径 $(1-\sqrt{|x|})^2$ の円盤である。各断面の面積をxについて積分すると $$\displaystyle V=\int_{-1}^{1}\pi(1-\sqrt{|x|})^4\,dx =2\pi\int_0^1(1-\sqrt{x})^4\,dx.$$ $v=\sqrt{x}$ と置けば $$\displaystyle \int_0^1(1-\sqrt{x})^4dx=2\int_0^1v(1-v)^4dv=\frac1{15},$$ ゆえに $$\displaystyle V=\frac{2\pi}{15}.$$

線分上の内分比をλで表すと、点のx方向距離uとyz平面内距離ρが得られる。λを動かして可能条件を消去すると断面半径が定まり、円盤断面の体積積分に帰着する。