2京都大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$OABC$ は非共面なので $\vec a=\overrightarrow{OA},\vec b=\overrightarrow{OB},\vec c=\overrightarrow{OC}$ の係数を比較できる。位置ベクトルは $$\displaystyle D=\vec a+2\vec b+3\vec c,\qquad P=\frac13\vec a,\qquad Q=\frac12\vec b.$$ $R$ が直線 $OD$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて $R=tD$ とおく。$QR$ 上の点と $PC$ 上の点をそれぞれ $$Q+\lambda(R-Q),\qquad P+\mu(C-P)$$ と表す。交点では $\vec a,\vec b,\vec c$ の係数が一致するから $$\displaystyle \lambda t=\frac13-\frac{\mu}{3},\qquad \frac12+\lambda\left(2t-\frac12\right)=0,\qquad 3\lambda t=\mu.$$ 第1式と第3式から $\lambda t=1/6$。これを第2式に代入すると $$\displaystyle \frac12+\frac13-\frac{\lambda}{2}=0 \quad\text{したがって}\quad \lambda=\frac53, \qquad t=\frac{1/6}{5/3}=\frac1{10}.$$ $0<t<1$ なので $$OR:RD=t:(1-t)=1:9.$$

OABCが非共面なので3つの基準ベクトルの係数を比較できる。RをOD上のt倍と置き、直線QRとPC上の交点をそれぞれの媒介変数で表して連立する。$\displaystyle t=\frac1{10}$となり、RはOからDへ10分の1の位置にある。