4京都大学 2023年 数学 第4問解答・解説

$u=x^2\ (0\leq u\leq1)$ とし、$\displaystyle t(u)=e^{-u}+\frac{u}{4}+1$ とおくと、$f(x)=g(t(u))$、ただし $\displaystyle g(t)=t+\frac1t$ である。

$0\le u\le1$ では $\displaystyle e^{-u}\ge e^{-1}>\frac14$（問題文より $e=2.71\ldots<4$）だから、 $$\displaystyle t\prime(u)=-e^{-u}+\frac14<0.$$ また $$\displaystyle t(0)=2,\qquad t(1)=\frac54+\frac1e>1.$$ 従って $t(u)>1$ の範囲であり、 $$\displaystyle g\prime(t)=1-\frac1{t^2}>0.$$ よって $g$ は $t$ の増加関数、$t$ は $u$ の減少関数なので、$f$ は $u=x^2$ とともに減少する。最大値は $u=0$、すなわち $x=0$ で $$\displaystyle f(0)=g(2)=\frac52.$$ 最小値は $u=1$、すなわち $x=\pm1$ で $$\displaystyle f(\pm1)=g\!\left(\frac54+\frac1e\right) =\frac54+\frac1e+\frac{4e}{5e+4}.$$

$u=x^2$ に置き換えると、内側の量$t(u)$は$0\leq u\leq1$の範囲で減少する。$t>1$ では$g(t)=t+1/t$が増加するため、合成関数の最大・最小は$u=0,1$で決まり、それぞれ$x=0$、$x=\pm1$で達成する。