2山口大学 2026年 数学 第2問解答・解説

頂点対応は $C=O+\vec c,\ E=A+\vec c,\ F=A+B+\vec c,\ G=B+\vec c$。したがって $$\overrightarrow{GF}=\vec a,\quad \overrightarrow{OA}=\vec a,\quad \overrightarrow{OB}=\vec b,\quad \overrightarrow{OC}=\vec c.$$ (1) $\displaystyle P=\frac13\vec a$、$\displaystyle Q=\vec b+\vec c+\frac12\vec a$、$\displaystyle R=\vec a+\frac14\vec c$ だから $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\frac16\vec a+\vec b+\vec c,\qquad \overrightarrow{PR}=\frac23\vec a+\frac14\vec c.$$ (2) $AG$ 上の点は $\vec a+t(\vec b+\vec c-\vec a)$、$PQ$ 上の点は $\displaystyle \frac13\vec a+s(\frac16\vec a+\vec b+\vec c)$ と表せる。交点では $\vec b,\vec c$ の係数から $t=s$、$\vec a$ の係数から $\displaystyle 1-t=\frac13+\frac t6$。よって $t=4/7$ であり $$\displaystyle \overrightarrow{OT}=\frac37\vec a+\frac47\vec b+\frac47\vec c.$$ (3) $S$ は $BG$ 上なので $S=\vec b+\lambda\vec c$ とおくと $$\displaystyle \overrightarrow{PS}=-\frac13\vec a+\vec b+\lambda\vec c.$$ $P,R,Q,S$ が同一平面上なら、ある実数 $u,v$ で $$\overrightarrow{PS}=u\overrightarrow{PR}+v\overrightarrow{PQ}.$$ $\vec b$ の係数から $v=1$、$\vec a$ の係数から $\displaystyle \frac23u+\frac16=-\frac13$ なので $\displaystyle u=-\frac34$。$\vec c$ の係数を比べると $$\displaystyle \lambda=\frac14u+v=-\frac3{16}+1=\frac{13}{16}.$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{PS}=-\frac13\vec a+\vec b+\frac{13}{16}\vec c.$$

図の平行移動から各頂点をa,b,cで表し、各点の位置ベクトルを求める。(2)は2直線を媒介変数で表して係数を比べる。(3)は、共面ならPSがPRとPQの一次結合になることを使い、a,b,cの係数から内分比を定める。