1山口大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1)(i) 与えられた式を整理すると $$z(w+4)=3w+2,\qquad w(z-3)=2-4z.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{w=\frac{2-4z}{z-3}}.$$ ここで $z=3$ は元の式を満たす $w$ が存在しないため除く。

(1)(ii) $$\displaystyle w-1=\frac{2-4z}{z-3}-1=\frac{5(1-z)}{z-3}.$$ よって $|w-1|=1$ は $|z-3|=5|z-1|$ と同値である。$z=x+iy$ として両辺を二乗し整理すると $$25\bigl((x-1)^2+y^2\bigr)=(x-3)^2+y^2,$$ $$\displaystyle \left(x-\frac{11}{12}\right)^2+y^2=\left(\frac{5}{12}\right)^2.$$ したがって、点 $z$ の軌跡は実軸上の $11/12$ を中心、半径 $5/12$ の円である。概形は実軸の正の側にあるこの円。

(2)(i) 人数の割合で考える。$A$ は $3/5$、$B$ は $2/5$ を占める。各群における得点の割合は次の通り。 $$\begin{array}{c|ccc} & 1 & 2 & 3 \\ \hline A\;\text{（全体に対する割合）} & 1/20 & 3/10 & 1/4 \\ B\;\text{（全体に対する割合）} & 3/20 & 1/5 & 1/20 \end{array}$$ 実際、$B$ の得点3の割合は $1-1/2-3/8=1/8$ なので全体の $1/20$。したがって $A$ の得点3は全体の $3/10-1/20=1/4$ であり、$A$ の得点1は $3/5-3/10-1/4=1/20$ となる。 全体では得点1,2,3の割合がそれぞれ $1/5,1/2,3/10$ だから、平均値は $$\displaystyle E[Y]=1\cdot\frac15+2\cdot\frac12+3\cdot\frac3{10}=\frac{21}{10}.$$ 二乗の平均は $E[Y^2]=1/5+4\cdot1/2+9\cdot3/10=49/10$ であるから、分散は $$\displaystyle V[Y]=E[Y^2]-E[Y]^2=\frac{49}{10}-\left(\frac{21}{10}\right)^2=\frac{49}{100}.$$

(2)(ii) $X=1$ となる割合は $3/5$ なので $$\displaystyle E[X]=\frac35,\qquad V[X]=\frac35\cdot\frac25=\frac6{25}.$$ $X=1$ のときの得点の寄与から $$\displaystyle E[XY]=1\cdot\frac1{20}+2\cdot\frac3{10}+3\cdot\frac14=\frac75.$$ よって $$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y] =\frac75-\frac35\cdot\frac{21}{10}=\frac7{50}.$$ 従って相関係数は $$\displaystyle \rho_{X,Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V[X]V[Y]}} =\frac{7/50}{\sqrt{(6/25)(49/100)}}=\boxed{\frac1{\sqrt6}}.$$