3大阪公立大学 2026年 数学 第3問解答・解説

直線EA上の点を$E+u(A-E)=(1-u,us)$とおく。単位円上にある条件は$(1-u)^2+u^2s^2=1$であり、$u=0$はEに対応する。もう一つの解は$\displaystyle u=\frac{2}{1+s^2}$だから、$\displaystyle P=\left(\frac{s^2-1}{s^2+1},\frac{2s}{s^2+1}\right)$。同様に$\displaystyle Q=\left(\frac{t^2-1}{t^2+1},\frac{2t}{t^2+1}\right)$。EPの方向ベクトルは比例して$(-1,s)$、OQの方向ベクトルは比例して$(t^2-1,2t)$である。垂直条件は$-(t^2-1)+2st=0$、すなわち$t=s\pm\sqrt{s^2+1}$。$s<t$よりプラスを選ぶ。$u=\arctan(s)$とおくとPは偏角$\pi-2u$、Qは偏角$\displaystyle \frac\pi2-u$、Eは偏角$0$である。QはEからPへ向かう円弧の中点なので、弦QEとQPのなす円周角は、Qを含まない弧EPの半分、$\displaystyle \frac\pi2+u$となる。これが$\displaystyle \frac\pi3$だから$\displaystyle u=-\frac\pi6$、$\displaystyle s=-\frac1{\sqrt3}$。問2の式に代入して$\displaystyle t=\frac1{\sqrt3}$。