2大阪公立大学 2026年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} P(p=3)&=\binom63\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^3=\frac{160}{729},\\ P(q=1)&=\frac{6+60+60}{3^6}=\frac{14}{81},\\ P(p=2\mid 8\leq3p+2q\leq10)&=\frac{60}{6+30+60+15}=\frac{20}{37}. \end{aligned}$$

1回の試行で $x$ 方向へ進む確率は $1/3$ なので、$p=3$ は二項分布により $\displaystyle \binom63(1/3)^3(2/3)^3=160/729$。$q=1$ となる系列を $y$ 方向の移動回数 $m$ で分けると $m=1,3,5$ に限られ、その個数はそれぞれ $\displaystyle \binom61=6$、$\displaystyle \binom63\binom32=60$、$\displaystyle \binom65\binom53=60$。全 $3^6$ 系列中126系列なので $14/81$。問3では $p=0,1,2,3,4,5,6$ ごとに条件を満たす系列数が $6,30,60,0,15,0,0$。分母111、$p=2$ の系列60より条件付き確率 $20/37$。