1熊本大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(問1) 1回の対戦で$A$君が勝つ確率は$p$であり、$B$君が勝つ確率は$(1-p)q$である。どちらも勝たない確率を$r$とおくと、さいころを投げる各試行は独立だから、 $$r=(1-p)(1-q)$$ となる。$X,Y$は空でなく互いに素なので、$0<p,q<1$、したがって$0<r<1$である。 $A$君が$k$回目の対戦で勝つには、初めの$k-1$回の対戦でどちらも勝たず、$k$回目に$A$君が勝てばよい。その確率は$r^{k-1}p$である。これらは互いに排反な事象なので、$n$回までに$A$君が勝つ確率$P_A$は、等比数列の和より $$\displaystyle P_A=\sum\limits _{k=1}^{n}r^{k-1}p =p\frac{1-r^n}{1-r} =\boxed{\frac{p\{1-[(1-p)(1-q)]^n\}}{p+q-pq}}.$$ ここで$1-r=p+q-pq>0$である。

(問2) $B$君が$k$回目の対戦で勝つ確率は$r^{k-1}(1-p)q$であるから、$B$君が勝つ確率$P_B$は $$\displaystyle P_B=(1-p)q\sum\limits _{k=1}^{n}r^{k-1}.$$ $n\geq1$であり、共通因子$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}r^{k-1}$は正なので、 $$P_A>P_B\quad\text{すなわち}\quad p>(1-p)q.$$ $X,Y$の要素数をそれぞれ$a,b$とおく。さいころの各目は等確率であるから$p=a/6,\ q=b/6$であり、$a,b$は正の整数で$a+b\leq6$である。したがって、求める条件は $$6a>(6-a)b$$ となる。要素数$a,b$を固定したとき、まず$X$を選び、その補集合から$Y$を選ぶので、集合の組$(X,Y)$は$\displaystyle \binom{6}{a}\binom{6-a}{b}$通りある。 $a=1,2,3,4,5$について上の不等式と$1\leq b\leq6-a$を満たす$b$を調べると、次の表になる。 $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c} a & \text{条件を満たす }b & \text{集合の組の数}\\ \hline 1 & 1 & \binom{6}{1}\binom{5}{1}=30\\ 2 & 1,2 & \binom{6}{2}\left(\binom{4}{1}+\binom{4}{2}\right)=150\\ 3 & 1,2,3 & \binom{6}{3}\left(\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}\right)=140\\ 4 & 1,2 & \binom{6}{4}\left(\binom{2}{1}+\binom{2}{2}\right)=45\\ 5 & 1 & \binom{6}{5}\binom{1}{1}=6 \end{array}$$ 特に$a=2,b=3$のときは$6a=(6-a)b$となり、厳密な不等式を満たさないため含めない。よって求める集合の組の総数は $$30+150+140+45+6=\boxed{371\text{通り}}.$$

1回でAが勝つ確率はp、Aが外した後にBが当てて勝つ確率は(1−p)q、どちらも勝たず次の対戦へ進む確率は$r=(1-p)(1-q)$である。よってAがk回目に勝つ確率は$r^{k-1}p$で、n回以内の勝率は $\displaystyle p\frac{1-r^n}{1-r}$。ここで$1-r=p+q-pq>0$。

AとBのn回以内の勝率の差は、正の共通因子 $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n r^{k-1}$ に対する $p-(1-p)q$ の符号で決まる。$a=|X|,\quad b=|Y|$と置けば$\displaystyle p=\frac a6,\quad q=\frac b6$で、$a,b\geq1,\quad a+b\leq6$。したがって条件は$6a>(6-a)b$。各aについて条件を満たすbと組数を数えると、a=1は30、a=2は150、a=3は140、a=4は45、a=5は6通り、合計371通り。