香川大学 2013年数学第3問解答・解説

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1問題

香川大学2013年度第3問

座標平面上の点 $(x,y)$ は、 $x,y$ がともに整数のとき格子点という。　原点 $(0,0)$ に番号1をふり、以下 $(1,0)$ に番号2、 $(1,1)$ に番号3と、各格子点に図のように反時計まわりに番号をふっていく。このとき、次の問に答えよ。

1. $n$ が自然数のとき、格子点 $(n,-n)$ にふられる番号を $n$ の式で表せ。　 2. $n$ が自然数のとき、格子点 $(n+1,n+1)$ にふられる番号を $n$ の式で表せ。　 3. 番号1000がふられる格子点の座標を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解答を見る途中式つきの解答

$m\ge1$ とする。第 $m$ 層より内側の正方形にある格子点は $(2m-1)^2$ 個、第 $m$ 層までの正方形では $(2m+1)^2$ 個。差は $8m$ 個である。原図の番号は右下側から上へ進み、上辺を左へ、左辺を下へ、下辺を右へと反時計回りにつく。

1. $(n,-n)$ は第 $n$ 層の最後なので番号は $\boxed{(2n+1)^2}$ 。

2. $m=n+1$ とおく。第 $m$ 層の最初の点 $(m,-m+1)$ は番号 $(2m-1)^2+1$ 。右上の $(m,m)$ まではさらに $2m-1$ 回進むから $(2m-1)^2+2m=4m^2-2m+1=\boxed{4n^2+6n+3}.$

3. $31^2=961<1000\le33^2=1089$ より第16層にある。右上 $(16,16)$ の番号は $31^2+32=993$ 。そこから上辺を左へ7個進むので $\boxed{(9,16)}.$

この問題で使う考え方

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