2香川大学 2013年 数学 第2問解答・解説

(1) 加法定理による行列積から回転角が加わるので、 $$A^n=\begin{pmatrix}\cos n\theta&-\sin n\theta\\\sin n\theta&\cos n\theta\end{pmatrix}.$$ (2) $(A-E)S_n=A^n-E$。また $$A-E=\begin{pmatrix}\cos\theta-1&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta-1\end{pmatrix},\quad \det(A-E)=2(1-\cos\theta)>0,$$ ゆえに逆行列が存在する。その逆行列を左から掛ければ $$\displaystyle P=(A-E)^{-1}=\frac1{2(1-\cos\theta)}\begin{pmatrix}\cos\theta-1&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta-1\end{pmatrix}.$$ (3) $\theta=2\pi/n$ なので $\sin(\theta/2)>0$。加法定理から $$\displaystyle 2\sin(\theta/2)\cos(k\theta)=\sin((k+\tfrac12)\theta)-\sin((k-\tfrac12)\theta).$$ これを $k=1,\ldots,n$ で加えると右辺は $\sin(2\pi+\theta/2)-\sin(\theta/2)=0$ となる。よって $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n\cos(k\theta)=0$ であり、求める和は $1$。

回転行列の積には加法定理を適用した。(2) は行列の有限和にA−Eを掛けて途中の項を打ち消す計算と2×2逆行列の直接計算。(3) は加法定理で余弦を二つの正弦の差に表し、和をとると途中の項が打ち消し合うことを用いた。