1昭和大学 2014年 数学 第1問解答・解説

(1-1) $2^{x+2}-2^x=3\cdot2^x$ だから $200<2^x<300$。$2^7=128<200<256=2^8<300<512=2^9$ より自然数解は $x=8$。

(1-2) $x$ は正の整数で、対数関数の単調性から $$21<\log_2 x^6<22\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad 2^{21}<x^6<2^{22}.$$ $11^6=1771561<2^{21}=2097152<12^6=2985984<2^{22}=4194304<13^6=4826809$ なので $x=12$。

(2-1) $$\sqrt3\sin x-\cos x=2\sin(x-\pi/6).$$ $0\le x\le\pi$ では、右辺は $x=2\pi/3$ まで増加して最大値2をとり、その後 $x=\pi$ まで減少して値1となる。$x=0$ での値は−1。したがって水平線 $y=a$ とグラフが異なる2点で交わるのは、$1\le a<2$ のときである（$a=1$ では $x=\pi/3,\pi$）。

(2-2) 二次方程式の根を $u=\tan\alpha,v=\tan\beta$ とすると、解と係数の関係より $u+v=-2/\sqrt3$、$uv=-1$。よって $$\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{u+v}{1-uv}=-\frac1{\sqrt3}.$$ $0<\alpha+\beta<\pi$ で正接が負なので $\alpha+\beta=5\pi/6$。

(3-1) $H=A+\lambda(B-A)$ とおく。$OH\perp AB$ より $H\cdot(B-A)=0$。$A\cdot B=2\cos120^\circ=-1$、$|B-A|^2=1+4-2(-1)=7$ だから $$-2+7\lambda=0,\qquad \lambda=2/7.$$ 従って $AH:HB=2:5$。

(3-2) $$\displaystyle H=(1-2/7)a+(2/7)b=\frac57a+\frac27b,\qquad M=\frac12b.$$ $C$ は $OH$ 上にあるので $C=sH$、また $AM$ 上にあるので $C=(1-r)a+(r/2)b$ と書ける。係数比較から $5s/7=1-r$、$2s/7=r/2$。後式より $r=4s/7$、前式と合わせて $s=7/9$。従って $$\displaystyle \overrightarrow{OC}=C=\frac59a+\frac29b.$$