4昭和大学 2014年 数学 第4問解答・解説

(1-1) $n\ge1$ に対し、部分積分を2回行う。まず $$\displaystyle a_n=\int_0^1x^2(1-x)^n\,dx =\frac2{n+1}\int_0^1x(1-x)^{n+1}\,dx,$$ さらに $$\displaystyle \int_0^1x(1-x)^{n+1}\,dx =\frac1{n+2}\int_0^1(1-x)^{n+2}\,dx =\frac1{(n+2)(n+3)}.$$ よって $$\displaystyle a_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)}.$$

(1-2) 一般項から $$\displaystyle a_n-a_{n+1} =\frac{6}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}.$$ 部分和を添字をずらして整理すると $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{N}(n+c)(a_n-a_{n+1}) =c a_1+\sum\limits _{n=1}^{N}a_n-(N+c)a_{N+1}.$$ 一般項より $\displaystyle a_1=\frac1{12}$、また $(N+c)a_{N+1}\to0$ である。さらに $$\displaystyle a_n=\frac1{(n+1)(n+2)}-\frac1{(n+2)(n+3)}$$ なので $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_n=\frac1{2\cdot3}=\frac16.$$ 従って与えられた級数の和は $\displaystyle \frac c{12}+\frac16$ であり、これが $2$ となる条件は $$\displaystyle \frac c{12}+\frac16=2,\qquad c=22.$$

(2) $u=2x,\ v=y$ とおく。 $|u|\ge|v|$ なら $u+v,u-v$ は $u$ と同符号（または0）なので $$|u+v|+|u-v|=2|u|.$$ 同様に $|v|\ge|u|$ なら左辺は $2|v|$ である。従って $$\displaystyle |2x+y|+|2x-y|=2\max(|2x|,|y|).$$ 与式は $\displaystyle \max(|2x|,|y|)=1$、すなわち $\displaystyle |x|\le\frac12,\ |y|\le1$ で少なくとも一方が等号となる点の集合である。これは頂点 $$\displaystyle \left(-\frac12,-1\right),\quad \left(\frac12,-1\right),\quad \left(\frac12,1\right),\quad \left(-\frac12,1\right)$$ を順に結んだ長方形の周である。辺は $\displaystyle y=\pm1\ (-\frac12\le x\le\frac12)$ および $\displaystyle x=\pm\frac12\ (-1\le y\le1)$ である。