2昭和大学 2014年 数学 第2問解答・解説

$P(t,2-t)$ から $A,B$ へ向かう二つのベクトルを $$\overrightarrow{PA}=(-t-2,t-2),\qquad \overrightarrow{PB}=(-t,t-2)$$ とする。この内積と成分の積の差で表した平行四辺形の面積は $$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} =t(t+2)+(t-2)^2=2(t^2-t+2)>0,$$ $$\left|(-t-2)(t-2)-(t-2)(-t)\right|=2|t-2|.$$ 従って $\displaystyle 0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$ であり、内積が $|PA||PB|\cos\theta$、面積が $|PA||PB|\sin\theta$ であることから $$\displaystyle \tan\theta=\frac{|t-2|}{t^2-t+2}.$$　 (1-1) $t=-2$ を代入すると $$\displaystyle \tan\theta=\frac{|-2-2|}{(-2)^2-(-2)+2} =\frac4{8}=\frac12.$$　 (1-2) よって $$\displaystyle \tan\theta=\frac{|t-2|}{t^2-t+2}.$$　 (2) $\displaystyle D=t^2-t+2=(t-\frac12)^2+\frac74>0$ とおく。$\tan\theta$ は $\displaystyle 0\le\theta<\frac{\pi}{2}$ で増加するので、$\theta$ を最大にすることは $\tan\theta$ を最大にすることと同じである。　 $t\le2$ のとき $|t-2|=2-t$ で、 $$D-(2-t)=t^2\ge0$$ より $\tan\theta\le1$。等号は $t=0$ のときに成り立つ。一方 $t\ge2$ のときは $$D-(t-2)=t^2-2t+4=(t-1)^2+3>0$$ なので $\tan\theta<1$。従って最大値は $t=0$ のときの $1$ であり、そのとき $$P=(0,2).$$