4香川大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$（$x>0$）とおく。ここで $\log$ は自然対数である。 $$\displaystyle f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2},\qquad f''(x)=\frac{2\log x-3}{x^3}.$$ $0<x<e$ で増加し、$x>e$ で減少する。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}f(x)=-\infty,\quad f(1)=0,\quad f(e)=\frac1e,\quad \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=0$$ である。$0<x<e^{3/2}$ では $f''(x)<0$、$x>e^{3/2}$ では $f''(x)>0$ だから、変曲点は $$\displaystyle P=\left(e^{3/2},\frac{3}{2e^{3/2}}\right).$$ したがってグラフは $(1,0)$ を通り、$(e,1/e)$ で最大となった後、$x\to\infty$ のとき水平な漸近線 $y=0$ に上側から近づく。

(2) $\displaystyle f'(e^{3/2})=-\frac1{2e^3}$ なので、接線は $$\displaystyle \ell:\ y-\frac{3}{2e^{3/2}}=-\frac{x-e^{3/2}}{2e^3},\qquad \boxed{y=-\frac{x}{2e^3}+\frac2{e^{3/2}}}.$$

(3) $t=x/e^{3/2}>0$ とおく。曲線と接線の共有点を求める方程式 $f(x)=-x/(2e^3)+2/e^{3/2}$ は $$\displaystyle h(t)=\log t+\frac32-2t+\frac{t^2}{2}=0$$ と同値である。$h(1)=0$ であり、 $$\displaystyle h'(t)=\frac{(t-1)^2}{t}\ge0$$ である。この導関数は $t=1$ 以外で正だから、$h$ は異なる $t$ に対して同じ値をとらずに増加する。したがって解は $t=1$ だけであり、対応する共有点は $P$ のみである。