4京都大学 2013年 数学 第4問解答・解説

$\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{\sqrt3}{4}x^2$ は偶関数なので $0\le x\le\pi/2$ で最大を調べる。$x>0$ では $$\displaystyle f'(x)=x\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sin x}{x}\right).$$ $h(x)=\sin x/x$ とおくと $h'(x)=(x\cos x-\sin x)/x^2$。ここで $k(x)=\sin x-x\cos x$ は $k(0)=0$、$k'(x)=x\sin x>0$ より正だから、$h'(x)<0$。また $\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}h(x)=1>\sqrt3/2$、$h(\pi/2)=2/\pi<\sqrt3/2$。最後の不等式は問題で許された $\pi>3.1$、$\sqrt3>1.7$ から従う。よって$0<c<\pi/2$ を満たすただ一つの $c$ で $h(c)=\sqrt3/2$ となり、$f$ は $0\le x\le c$ で減少、$c\le x\le\pi/2$ で増加する。最大は端点で比較すればよい。 $$\displaystyle f(0)=1,\qquad f(\pi/2)=\frac{\sqrt3\pi^2}{16}>\frac{1.7\cdot3.1^2}{16}>1.$$ 偶関数性から最大値とその位置は $$\displaystyle \boxed{\frac{\sqrt3\pi^2}{16}\text{（この値をとるのは }x=\pm\frac\pi2\text{）}}.$$

$\displaystyle -\frac\pi2\leq x\leq\frac\pi2$で $\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{\sqrt3}{4}x^2$ は偶関数。$\displaystyle \frac{\sin x}{x}$は$\displaystyle 0<x\leq\frac\pi2$の範囲で、xが大きくなると必ず小さくなり、$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}$との交点一つを境にfは減少後増加。最大は端点で、$\displaystyle \frac{\sqrt3\pi^2}{16}>1$より$\displaystyle x=\pm\frac\pi2$。