4名古屋大学 2013年 数学 第4問解答・解説

大円の半径は2、小円 $C_1$ の半径は1である。時刻 $t=0$ に小円の中心は $(0,1)$、点 $A$ の中心からのベクトルは $(0,-2)$。中心は $(t,1)$ へ進み、滑らずに転がるので小円は時計回りに角 $t$ だけ回転する。従って $$(x(t),y(t))=(t-2\sin t,\ 1-2\cos t),\quad 0\le t\le2\pi.$$

(2) $x'=1-2\cos t$ は $t=\pi/3,5\pi/3$ で0。符号は、 $0\le t\le\pi/3$, $\pi/3\le t\le5\pi/3$, $5\pi/3\le t\le2\pi$ では、すでに求めた零点 $t=\pi/3,5\pi/3$ を除いて順に負、正、負だから、最小点・最大点はそれぞれ $$\displaystyle \left(\frac\pi3-\sqrt3,0\right),\qquad \left(\frac{5\pi}3+\sqrt3,0\right).$$ 一方 $y'=2\sin t$ より、$y$ は $0\le t\le\pi$ で増加し $\pi\le t\le2\pi$ で減少する。よって最大点は $(\pi,3)$、最小点は $(0,-1),(2\pi,-1)$。

(3) $y=0$ となるのは $t=\pi/3,5\pi/3$。この区間で $x'=1-2\cos t=y(t)\ge0$ なので、曲線とx軸で囲まれる部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{\pi/3}^{5\pi/3}y(t)x'(t)\,dt &=\int_{\pi/3}^{5\pi/3}(1-2\cos t)^2\,dt\\ &=\left[3t-4\sin t+\sin2t\right]_{\pi/3}^{5\pi/3} =4\pi+3\sqrt3. \end{aligned}$$