名古屋大学 2013年数学第2問解答・解説

指数関数・対数関数微分法数と式

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1問題

名古屋大学2013年度第2問

x > 0とし，f(x)=log x^100とおく。

(1) 次の不等式を証明せよ。 100/(x+1) < f(x+1)−f(x) < 100/x

(2) 実数aの整数部分（k ≦ a < k+1となる整数k）を[a]で表す。整数[f(1)]， [f(2)]， [f(3)]，…， [f(1000)]のうちで異なるものの個数を求めよ。必要ならばlog 10=2.3026として計算せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$100/(x+1)<f(x+1)−f(x)<100/x (x>0)$
(2)
330個

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 対数差をlog(1+t)に直し、p(t)=log(1+t)−t/(1+t)、q(t)=t−log(1+t)を微分して正値を示す。(2) $a_n=\lfloor100\log n\rfloor$ とおく。n=1,…,99では増分が1より大きく最初の100値は全て異なる。n=100,…,999では増分は0より大きく1未満なので整数部分は0または1ずつ進み、a_100からa_1000までの全整数値が現れる。与えられたlog10近似から端点を460と690と評価し、合計330個。

この問題で使う考え方

対数関数の増分評価
微分による不等式証明
整数部分の増分と連続する値の計数

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