岐阜大学 2020年数学第5問解答・解説

数と式指数関数・対数関数微分法

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1問題

岐阜大学2020年度第5問

関数 f(x) = e^(-2x^2) - e^(-1/2) を考える。以下の問に答えよ。ただし，e は自然対数の底である。

(1) 不等式 f(x) > 0 をみたす x の値の範囲を求めよ。

(2) 導関数 f'(x) を求めよ。

(3) 関数 y = |f(x)| の極値を求めよ。

(4) a を定数とする。方程式 |f(x)| - a = 0 の実数解の個数を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle -\frac12<x<\frac12$ 。 (2) $f'(x)=-4xe^{-2x^2}$ 。 (3) $|f(x)|$ は $x=0$ で極大値 $1-e^{-1/2}$ 、 $\displaystyle x=\pm\frac12$ で極小値0。 (4) $M=1-e^{-1/2},\quad C=e^{-1/2}$ とおくと、 $a<0$ :0個、 $a=0$ :2個、 $0<a<M$ :4個、 $a=M$ :3個、 $M<a<C$ :2個、 $a\geq C$ :0個。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$f(x)>0$ となる必要十分条件は $\displaystyle -\frac12<x<\frac12$ 、 $f'(x)=-4xe^{-2x^2}$ 。 $M=1-e^{-1/2},\quad C=e^{-1/2}\quad(0<M<C)$ 。 $y=|f(x)|$ は $x=0$ で極大値 $M$ 、 $\displaystyle x=\pm\frac12$ で極小値 $0$ 。 $\#\{x\in\mathbb{R}:|f(x)|=a\}$ = $\begin{cases} 0&(a<0),\\ 2&(a=0),\\ 4&(0<a<M),\\ 3&(a=M),\\ 2&(M<a<C),\\ 0&(a\ge C). \end{cases}$

f(x)>0 は e^(−2x²)>e^(−1/2) と同値で、|x|<1/2。導関数は f'(x)=−4xe^(−2x²)。 |f|は中央区間 |x|≦1/2 では f、外側では −f となる。中央ではx=0で値 M=1−e^(−1/2)の極大、x=±1/2で値0の極小をとる。外側では、|x|が増えるにつれ e^(−1/2)−e^(−2x²) が0から C=e^(−1/2)へ単調増加するが、Cには有限のxで到達しない。従って M<C のもと、方程式 |f(x)|=a の解数は a<0で0、a=0で2、0<a<Mで4、a=Mで3、M<a<Cで2、a≧Cで0。C>M は e^(−1/2)>1/2 による。

この問題で使う考え方

指数関数の単調性
導関数による増減・極値
グラフと水平線の交点数

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