3福井大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1) $a>0$、$0<t<1$ は定数とする。$x>0$ で微分すると $$\displaystyle \begin{aligned} f'(x) &=\frac{t}{1+x}-\frac{t a^{1-t}x^{t-1}}{1+a^{1-t}x^t}\\ &=\frac{t\{1-a^{1-t}x^{t-1}\}}{(1+x)(1+a^{1-t}x^t)} =\frac{t\{1-(a/x)^{1-t}\}}{(1+x)(1+a^{1-t}x^t)}. \end{aligned}$$ 分母は正で、$1-t>0$ だから、$0<x<a$ では $f'(x)<0$、$x>a$ では $f'(x)>0$ となる。従って $f$ は $x=a$ のときに限り最小値をとる。その値は $$f(a)=t\log(1+a)-\log(1+a)=-(1-t)\log(1+a).$$ よって、最小値は $\boxed{-(1-t)\log(1+a)}$、そのとき $\boxed{x=a}$ である。

(2) (1)より、任意の $b>0$ に対して $$t\log(1+b)-\log(1+a^{1-t}b^t) \ge -(1-t)\log(1+a).$$ 移項して対数の性質を使うと $$\log\bigl((1+a)^{1-t}(1+b)^t\bigr) \ge \log(1+a^{1-t}b^t).$$ 対数関数は正の範囲で単調増加するので、 $$\boxed{(1+a)^{1-t}(1+b)^t\ge 1+a^{1-t}b^t}.$$ (1)の最小値をとる点は $x=a$ だけだから、等号成立は $\boxed{a=b}$ のときに限る。

(3) $(9^6-1)=(3^6-1)(3^6+1)$ であり、与えられた等式から $$\displaystyle 3^6+1=\frac{9^6-1}{3^6-1}=\frac{728\cdot730}{728}=730.$$ したがって $3^6=729<730$ なので $\sqrt[6]{730}>3$。 また、二項定理より $$(3.01)^6=(3+0.01)^6 >3^6+6\cdot3^5\cdot0.01 =729+14.58>730,$$ ゆえに $\sqrt[6]{730}<3.01$。よって $$3.00<\sqrt[6]{730}<3.01,$$ 小数第2位の数は $\boxed{0}$。