4福井大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) $A$ から $B$ への方向ベクトルは $(0,2,2)$ だから、直線 $\ell$ は $$(x,y,z)=(1,t,t-1)\quad(t\text{ は実数})$$ と表せる。$xy$ 平面では $z=0$ なので $t=1$ となり、交点は $$(1,1,0)$$ である。

(2) 直線上の点 $(1,t,t-1)$ の $z$ 軸からの距離の2乗は $1+t^2$ であり、$z=t-1$ だから $t=z+1$ である。よって回転曲面 $S$ の方程式は $$x^2+y^2=1+(z+1)^2$$ である。高さ $z$ における、曲面 $S$ の内側の断面は半径 $\sqrt{1+(z+1)^2}$ の円である。したがって $$\displaystyle V=\int_{-1}^{1}\pi\{1+(z+1)^2\}\,dz =\pi\int_0^2(1+t^2)\,dt =\frac{14\pi}{3}.$$

(3) 平面 $\alpha$ の方程式を $ax+by+cz+d=0$ とする。$x$ 軸を含むので $a=d=0$、点 $(0,1,1)$ を通るので $b+c=0$ である。平面の係数がすべて0ではないから、$\alpha$ は $$y-z=0$$ である。これと $S$ の方程式から $$\displaystyle x^2+z^2=1+(z+1)^2, \qquad z=y=\frac{x^2-2}{2}$$ を得る。$C$ 上の点 $(x,y,z)$ を通る $z$ 軸に平行な直線は $xy$ 平面と $(x,y,0)$ で交わるので、$u=x$、$v=y$ である。よって $$\displaystyle \boxed{v=\frac{u^2-2}{2}}.$$