1福井大学 2021年 数学 第1問解答・解説

$\phi=\arctan(4/3)$ とおくと $\cos\phi=3/5,\sin\phi=4/5$ であり、媒介変数表示は $x=5\cos t,y=5\sin t$、$t=\theta+\phi$ と書ける。従って $C$ は原点中心、半径5の円のうち $\phi<t<\phi+3\pi/2$ の開いた弧である。両端は $\theta=0,3\pi/2$ に対応し、それぞれ $(3,4),(4,-3)$ である。

(1) 整数点は $x^2+y^2=25$ の整数解である。全円上の整数点は $x=0,\pm3,\pm4,\pm5$ を調べて得る12点であり、開弧の範囲から両端 $(3,4),(4,-3)$ と、始点より前の $(5,0),(4,3)$ を除く。したがって答えは $(0,5),(-3,4),(-4,3),(-5,0),(-4,-3),(-3,-4),(0,-5),(3,-4)$。

(2) 円全体どうしの交点条件は、中心間距離 $d=\sqrt2|a|$ が $5-1\le d\le5+1$、すなわち $4\le d\le6$ である。弧 $C$ についても十分であることを確かめる。交点 $P$ の偏角を $t$、中心 $Q=(a,-a)$ の方向角を $\lambda$ とすると、三角形 $OQP$ に余弦定理を用いて $$\displaystyle \cos(t-\lambda)=\frac{d^2+24}{10d}.$$ $4\le d\le6$ では右辺は1以下なので交点があり、また相加相乗平均より右辺は $2\sqrt6/5$ 以上である。$\delta=\arccos(2\sqrt6/5)$ とおけば $0\le\alpha=|t-\lambda|\le\delta<\pi/6$（最後は $2\sqrt6/5>\sqrt3/2$ より従う）。$a<0$ なら $\lambda=3\pi/4$ なので、交点方向 $t=\lambda-\alpha$ は $\pi/2<t<\pi$ にあり、$\phi<\pi/2$ かつ $\pi<\phi+3\pi/2$ より弧の内部にある。$a>0$ なら $\lambda=7\pi/4$ であり、同じく $t=\lambda-\alpha$ を選ぶと $19\pi/12<t\le7\pi/4$。$\phi<\pi/2<19\pi/12$ で、さらに $\phi=\arctan(4/3)>\pi/4$ だから $7\pi/4<\phi+3\pi/2$。よってこの交点も弧の内部にある。従って弧上の交点があるための必要十分条件は $4\le\sqrt2|a|\le6$、すなわち $2\sqrt2\le|a|\le3\sqrt2$ である。

(3) 共通点 $P(t)=(5\cos t,5\sin t)$ が円 $S$ 上にある条件を展開すると $$\displaystyle (5\cos t-a)^2+(5\sin t+a)^2=1, \qquad \cos t-\sin t=\frac{a+12/a}{5}.$$ (2)の範囲で $u=|a|$ とおけば、$u+12/u$ は $u=2\sqrt3$ で最小値 $4\sqrt3$ をとり、区間の両端 $2\sqrt2,3\sqrt2$ で最大値 $5\sqrt2$ となる。従って $|\cos t-\sin t|$ は $4\sqrt3/5$ から $\sqrt2$ の間を動く。$\delta=\arccos(2\sqrt6/5)$ とおくと、負の $a$ に対する点は $3\pi/4-\delta\le t\le3\pi/4+\delta$、正の $a$ に対する点は $7\pi/4-\delta\le t\le7\pi/4+\delta$ に対応する。後者は $C$ の終点 $t=\phi+3\pi/2$ より先まで延びるが、その終点自体は $C$ に含まれないので、実際の範囲は $7\pi/4-\delta\le t<\phi+3\pi/2$ となる。図では橙色の弧が可能な共有点、青点線が円 $S$ の中心 $(a,-a)$ の範囲を表す。