2福井大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(1) $x_0=0$ から、奇数が出ると0のまま、偶数が出ると正の数になる。正の状態からの加算・正の奇数倍では再び0にならない。従って $x_n=0$ となるのは最初の出目が奇数のときに限り、確率は $$\displaystyle \boxed{\frac12}.$$

以下、最初に偶数が出る回を $j$ とする。そこまでの $j-1$ 回は奇数である。

(2) 最初の偶数で2になり、その後の出目がすべて1であれば最終値は2となる。逆に正の状態から値を2のまま保つには後の出目は1でなければならない。よって $$\displaystyle P(x_n=2)=\sum\limits _{j=1}^{n}\left(\frac12\right)^{j-1}\left(\frac16\right)^{n-j+1} =\frac1{6^n}\sum\limits _{r=0}^{n-1}3^r =\boxed{\frac{3^n-1}{2\cdot6^n}}.$$

(3) 最終値4となる場合は、最初の偶数が4でその後すべて1となるか、最初の偶数が2でその後の $n-j$ 回に出る2がちょうど1回、残りがすべて1となる場合に限る。正になった後は出目の操作で値が減らないため、他の場合は4にならない。したがって $$\displaystyle P(x_n=4)=\sum\limits _{j=1}^{n}\frac{(1/2)^{j-1}}{6^{n-j+1}} +\sum\limits _{j=1}^{n-1}\frac{(1/2)^{j-1}(n-j)}{6^{n-j+1}}.$$ $r=j-1$ と置くと、第1和は $(3^n-1)/(2\cdot6^n)$、第2和は $$\displaystyle \frac1{6^n}\sum\limits _{r=0}^{n-2}(n-1-r)3^r =\frac{3^n-2n-1}{4\cdot6^n}.$$ よって $$\displaystyle \boxed{P(x_n=4)=\frac{3^{n+1}-2n-3}{4\cdot6^n}}.$$