4岐阜大学 2020年 数学 第4問解答・解説

以下 $\log$ は自然対数を表す。

**(1)** 積の微分法より、$x>0$ で $$\displaystyle y'= (\log x)^2+x\cdot2\log x\cdot\frac1x=\log x(\log x+2).$$

**(2)** $F(x)=x((\log x)^2+1)$ とおくと $$F'(x)=(\log x)^2+1+2\log x=(\log x+1)^2.$$ 従って $$\displaystyle \int_{1/e}^{1}(\log x+1)^2\,dx=F(1)-F(1/e)=1-\frac2e.$$

**(3)** $-1\le a\le1$ より $1/e\le e^a\le e$ であり、$|\log x-a|$ の符号変化点は $x=e^a$。そこで積分を分けると $$\displaystyle \begin{aligned} I&=\int_{1/e}^{e^a}(a-\log x)\,dx+\int_{e^a}^{e}(\log x-a)\,dx\\ &=\left[x(a-\log x+1)\right]_{1/e}^{e^a} +\left[x(\log x-a-1)\right]_{e^a}^{e}\\ &=e^a-\frac{a+2}{e}+e^a-ae =2e^a-\frac{a+2}{e}-ae. \end{aligned}$$

**(4)** (3)から $$\displaystyle I'(a)=2e^a-\frac1e-e,\qquad I''(a)=2e^a>0.$$ 唯一の停留点は $e^a=(e+e^{-1})/2$、すなわち $a=\log((e+e^{-1})/2)$。$e^{-1}<(e+e^{-1})/2<e$ よりこの $a$ は $-1<a<1$ を満たし、$I''>0$ だから$-1\le a\le1$ の範囲での唯一の最小点である。