2岐阜大学 2020年 数学 第2問解答・解説

係数座標を $x\vec a+y\vec c\leftrightarrow(x,y)$ と書く。平行四辺形は退化しないので $\vec a,\vec c$ は一次独立であり、 $$O=(0,0),\quad A=(1,0),\quad C=(0,1),\quad B=(1,1).$$ 内分条件から $E=(0,s),\ F=(t,1)$ である。

(1) $$\overrightarrow{AF}=F-A=(t-1,1)=(t-1)\vec a+\vec c.$$

(2) $G$ を $OF$ 上と $AE$ 上の両方から $$G=\lambda(t,1)=(1-u,us)$$ と表す。係数比較から $\lambda=us,\ \lambda t=1-u$。これを解くと $$\displaystyle \lambda=\frac{s}{1+st},\qquad u=\frac1{1+st},$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\left(\frac{st}{1+st},\frac{s}{1+st}\right) =\frac{st}{1+st}\vec a+\frac{s}{1+st}\vec c.$$

(3) $h$ を $A$ から直線 $OC$ への距離、$S=|\vec c|h$ を平行四辺形 $OABC$ の面積とする。$\displaystyle \alpha=\frac{st}{1+st}$ とおくと、$OE=s|\vec c|$ であり、$G$ から $OC$ への距離は $\alpha h$ である。よって底辺と高さから $$\displaystyle Q=\frac12(s|\vec c|)(\alpha h)=\frac{S s^2t}{2(1+st)}.$$ また $AB\parallel OC$、$|AB|=|\vec c|$。$F-A=(t-1)\vec a+\vec c$ のうち $\vec c$ 成分は $AB$ に平行なので、$F$ から $AB$ への距離は $(1-t)h$ である。従って $$\displaystyle Q'=\frac12|\vec c|(1-t)h=\frac S2(1-t), \qquad \frac{Q'}Q=\frac{(1-t)(1+st)}{s^2t}.$$

(4) $\displaystyle st=\frac13$ なら $\displaystyle t=\frac1{3s}$。$0<s,t<1$ は $\displaystyle \frac13<s<1$ と同値であり、 $$\displaystyle \frac{Q'}Q=\frac4s-\frac4{3s^2}=g(s).$$ 微分すると $$\displaystyle g'(s)=\frac{8-12s}{3s^3}.$$ よって $g$ は $1/3<s<2/3$ で増加し、$2/3<s<1$ で減少する。$g(2/3)=3$、また $s\to1/3+$ で $g(s)\to0$ だが $s=1/3$ は許されない。したがって値域は $$\displaystyle 0<\frac{Q'}Q\le3.$$

係数座標で内分点と交点を求める。面積は行列式を使わず、平行四辺形の面積を共通因子として底辺と高さで計算する。$\displaystyle st=\frac13$を代入した一変数関数の増減と端点の挙動から値域を得る。