3岐阜大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1) 正弦の一致条件から $$y=x+2k\pi\quad\text{または}\quad y=(2k+1)\pi-x\qquad(k\text{ は整数}).$$

(2) $\sin A=\sin B$ を $A=B+2k\pi$ または $A=\pi-B+2k\pi$ と分ける。$A=2s,\ B=3s+1$ とすると、前者は $s=-1-2k\pi$ で、指定範囲では $s=2\pi-1$。後者は $5s=\pi-1+2k\pi$ となり、範囲に入るのは $k=0,1,2,3,4$。したがって $$\displaystyle s=2\pi-1\quad\text{または}\quad s=\frac{\pi-1+2k\pi}{5}\quad(k=0,1,2,3,4).$$

(3) $0\le s<t<2\pi$ かつ $\cos s=\cos t$ より $s+t=2\pi$（従って $0<s<\pi<t$）。すると $$\sin(5t)=\sin(10\pi-5s)=-\sin(5s).$$ これが $\sin(5t)=\sin(5s)$ と等しいため $\sin(5s)=0$。区間条件から $s=k\pi/5,\ k=1,2,3,4$、$t=2\pi-s$。よって $$\displaystyle (s,t)=\left(\frac{k\pi}{5},\frac{(10-k)\pi}{5}\right)\quad(k=1,2,3,4).$$

正弦の一般解を二分岐で扱い、各指定区間に入る整数だけを残した。(3)では余弦一致と順序条件から t=2π−s を得て、もう一つの式に代入して全解を絞った。