4金沢大学 2020年 数学 第4問解答・解説

$u=x/3+\pi/6$ とおくと $$\displaystyle f(x)=\frac{2\sqrt2\pi}{3}\sin u+\frac{(3-2\sqrt2)\pi}{3}.$$ (1) $-2\pi\le x\le\pi$ では $-\pi/2\le u\le\pi/2$ であり， $$\displaystyle f'(x)=\frac{2\sqrt2\pi}{9}\cos u\ge0.$$ 区間の内部では正だから，$-2\pi\le x_1<x_2\le\pi$ ならば $f(x_1)<f(x_2)$ が成り立つ。

(2) $g(x)=f(x)-x$ とする。$\pi^2<10$ より $$\displaystyle \left(\frac{2\sqrt2\pi}{9}\right)^2<\frac{80}{81}<1,\qquad g'(x)=f'(x)-1\le\frac{2\sqrt2\pi}{9}-1<0.$$ また $f(\pi)=\pi$ なので $g(\pi)=0$。従って $x<\pi$ で $g(x)>0$，特に指定された開区間で $f(x)>x$ である。

(3) $c=f(0)=(3-\sqrt2)\pi/3$ とおく。まず $$\displaystyle I=\int_0^\pi f(t)\,dt =\left[-2\sqrt2\pi\cos(t/3+\pi/6)\right]_0^\pi+ \frac{(3-2\sqrt2)\pi^2}{3} =\sqrt6\pi+\frac{(3-2\sqrt2)\pi^2}{3}.$$ $x=f(t)$ による置換と部分積分から $$\displaystyle \int_c^\pi f^{-1}(x)\,dx=\int_0^\pi t f'(t)\,dt =[t f(t)]_0^\pi-I =\boxed{\frac{2\sqrt2\pi^2}{3}-\sqrt6\pi}.$$

(4) $0<c<\pi$。上側境界は $y=f(x)$，下側境界は $0\le x\le c$ で $y=c-x$，$c\le x\le\pi$ で $y=f^{-1}(x)$ である。 実際，前者では $f(x)\ge c\ge c-x$，後者では(2)と単調性から $f^{-1}(x)<x<f(x)$（右端以外）。両曲線は $(\pi,\pi)$ で結ばれる。 従って面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=I-\int_0^c(c-x)\,dx-\int_c^\pi f^{-1}(x)\,dx\\ &=2I-\pi^2-\frac{c^2}{2} =\boxed{2\sqrt6\pi+\frac{7-18\sqrt2}{18}\pi^2}. \end{aligned}$$