3金沢大学 2020年 数学 第3問解答・解説

$O=(0,0)$、$U=(3,0)$ とおく。辺 $ST$ の中点を $M$ とする。正三角形の高さは $\displaystyle \sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac32$ なので、$\displaystyle M=(\frac32,0)$。また $ST\perp OU$ かつ $ST=\sqrt3$ より $$\displaystyle S=\left(\frac32,\frac{\sqrt3}{2}\right),\qquad T=\left(\frac32,-\frac{\sqrt3}{2}\right).$$ したがって三角形内では $\displaystyle \frac32\le x\le3$、$\displaystyle |y|\le\frac{3-x}{\sqrt3}$ である。特に $OP=\rho>1$ だから、Pから円への接線は常に2本引ける。

接点を $A,B$ とし、$H=AB\cap OP$ とする。対称性から $OH\perp AB$。直角三角形 $OHA$ と $OAP$ は相似であり、$OA=1$, $OP=\rho$ なので $$\displaystyle OH=\frac1\rho,\qquad AH=\sqrt{1-OH^2}=\sqrt{1-\frac1{\rho^2}}.$$ $\triangle OAB$ を $OP$ のまわりに回転すると、高さ $OH$、底面半径 $AH$ の円すいになる。よって $$\displaystyle V=\frac13\pi AH^2\,OH=\frac\pi3\left(\frac1\rho-\frac1{\rho^3}\right).$$

三角形内の最小距離は $M$ における $\displaystyle \rho=\frac32$、最大距離は頂点 $U$ における $\rho=3$ であり、線分 $MU$ 上でその間の全ての値をとる。$\displaystyle g(\rho)=\frac1\rho-\frac1{\rho^3}$ とおくと $$\displaystyle g'(\rho)=\frac{3-\rho^2}{\rho^4},$$ したがって $V$ は $\displaystyle \frac32\le\rho\le\sqrt3$ で増加し、$\sqrt3\le\rho\le3$ で減少する。最大値は $\rho=\sqrt3$ のとき $$\displaystyle V_{\max}=\frac\pi3\left(\frac1{\sqrt3}-\frac1{3\sqrt3}\right)=\frac{2\pi}{9\sqrt3}.$$ この点の存在範囲は、三角形内にある円 $x^2+y^2=3$ の弧、すなわち $$\displaystyle P=(\sqrt3\cos\varphi,\sqrt3\sin\varphi),\qquad -\frac\pi6\le\varphi\le\frac\pi6$$ である（両端は $S,T$）。

端点での体積は $$\displaystyle V\!\left(\frac32\right)=\frac{10\pi}{81},\qquad V(3)=\frac{8\pi}{81}.$$ よって最小値は $P=U=(3,0)$ のときの $\displaystyle V_{\min}=\frac{8\pi}{81}$。図示では最大の点の存在範囲を $r=\sqrt3$, $-\pi/6\le\theta\le\pi/6$ の円弧、最小の点を頂点 $U$ として示す。