2金沢医科大学 2023年 1日目 数学 第2問解答・解説

直線 $y=x+a$ の原点からの距離は $|a|/\sqrt2$。正三角形の頂点 $O$ から向かい側の辺までの高さは、辺長が円の半径2に等しいため $\sqrt3$ である。したがって $|a|/\sqrt2=\sqrt3$、すなわち $a=\pm\sqrt6$ であり、$\text{タ}=6$。

$u=\sqrt6,\ v=\sqrt2$ とおく。直線 $y=x+u$ を円に代入すると $$x^2+(x+u)^2=4 \quad\text{すなわち}\quad x^2+ux+1=0,$$ よって交点の $x$ 座標は $(-u\pm v)/2$。大きい方をもつ $A$ は $$\displaystyle A=\left(\frac{v-u}{2},\frac{u+v}{2}\right) =\left(\frac{\sqrt2-\sqrt6}{2},\frac{\sqrt2+\sqrt6}{2}\right).$$ ゆえに $\text{チ}=2,\text{ツ}=6,\text{テ}=2,\text{ト}=2,\text{ナ}=6,\text{ニ}=2$。

直線 $y=x-u$ については $x^2-ux+1=0$ となるので $$\displaystyle C=\left(\frac{u-v}{2},-\frac{u+v}{2}\right),\qquad D=\left(\frac{u+v}{2},\frac{v-u}{2}\right).$$ 従って $$\overrightarrow{AD}=(u,-u),\qquad AD=\sqrt{u^2+u^2}=2\sqrt3,$$ すなわち $\text{ヌ}=2,\text{ネ}=3$。

上の座標と $$\displaystyle B=\left(-\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2}\right)$$ から $C=-A,\ D=-B$ である。したがって $AC,BD$ は円②の直径であり、円周角の定理から直径 $AC$ に対する $\angle ABC,\angle ADC$ と、直径 $BD$ に対する $\angle BAD,\angle BCD$ はいずれも直角である。よって四角形 $ABCD$ は長方形となる。正三角形 $OAB$ の辺長は2なので $AB=2$、また上で求めた $AD=2\sqrt3$ だから $$[ABCD]=AB\cdot AD=2\cdot2\sqrt3=4\sqrt3,$$ 従って $\text{ノ}=4,\text{ハ}=3$。

①に平行で正の $y$ 切片をもつ接線を $y=x+c$ とおく。円との接線条件は原点からの距離 $c/\sqrt2$ が半径2に等しいことだから $c=2\sqrt2$。従って③は $y=x+2\sqrt2$ で、$\text{ヒ}=2,\text{フ}=2$。

$A',B'$ はそれぞれ $OA,OB$ 上にあるから $A'=\lambda_A A,\ B'=\lambda_B B$ と書ける。両方の元の点について $y-x=u$ であり、接線上では $y-x=2\sqrt2$ だから $$\displaystyle \lambda_A=\lambda_B=\frac{2\sqrt2}{u}=\frac2{\sqrt3}.$$ 三角形の面積は原点中心の拡大率の2乗倍となる。$OAB$ は辺長2の正三角形なので $[OAB]=\sqrt3$、従って $$\displaystyle [OA'B']=\left(\frac2{\sqrt3}\right)^2\sqrt3=\frac{4\sqrt3}{3}.$$ よって $\text{ヘ}=4,\text{ホ}=3,\text{マ}=3$。

検算として、$A$ と $B$ は半径2の円上にあり、両者の差ベクトルの長さは2となるため $\triangle OAB$ は確かに正三角形である。