1金沢医科大学 2023年 1日目 数学 第1問解答・解説

(1)　 さいころの目と硬貨の結果の全事象は $6^3\cdot2=432$ 通りで、すべて同様に確からしい。底を $q=a+k$ とおくと $2\le q\le8$、また $1\le bc\le36$ である。$bc$ が大きいほど $\log_q(bc)$ は大きく、$bc>1$ のとき底 $q$ が小さいほど値は大きい。最大値は $a=1,k=1,b=c=6$ のときの $\log_2 36$ であり、$2^5=32<36<64=2^6$ よりこれを超えない最大の整数は5。

(2)　 $bc\ge1$ かつ $q>1$ より $L\ge0$ であり、最小値は $bc=1$、すなわち $b=c=1$ のときの $L=0$。このとき $a$ は6通り、硬貨は2通りなので確率は $$\displaystyle \frac{6\cdot2}{432}=\frac1{36}.$$ したがって $\text{イ}=0$、確率は $1/36$。

(3)　 $L$ が自然数（正の整数）となるには、ある正整数 $n$ に対して $bc=q^n$ である。固定した $q$ ごとに、$b,c$ がともに1から6までの整数となる順序つき因数対の個数を数えると次の通りである。 $$\begin{array}{c|rrrrrrr} q&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline N(q)&8&3&4&3&5&0&2 \end{array}$$ 例えば $q=2$ では $2,4,8,16,32$ に対する因数対数は順に $2,3,2,1,0$ で合計8、$q=6$ では積6と36に対して4組と1組で合計5である。他の欄も同様に、$q^n\le36$ のべきだけを調べた。$q=a+k$ の出現回数は順に $1,2,2,2,2,2,1$ だから、条件を満たす全結果数は $$1\cdot8+2\cdot3+2\cdot4+2\cdot3+2\cdot5+2\cdot0+1\cdot2=40.$$ よって確率は $40/432=5/54$。

(4)　 固定した底 $q$ について $3\le L\le4$ は $q^3\le bc\le q^4$ と同値である。$q=2$ では積8から16までの順序つき因数対は、積ごとに $2,1,2,0,4,0,0,2,1$ 組（積8,9,10,11,12,13,14,15,16）で、合計12組。$q=3$ では積27から36までで可能なのは $bc=30$ の2組と $bc=36$ の1組なので3組である。$q\ge4$ なら $q^3\ge64>36$ で該当しない。底2は1通り、底3は2通り現れるので全結果数は $12+2\cdot3=18$。したがって確率は $18/432=1/24$。

(5)　 $\log_q(bc)>0.5$ は $bc>\sqrt q$ と同値である。$q=2,3$ では積が1の1組だけを除くので各底につき35組。$q=4,5,6,7,8$ では積が1または2の3組を除くので各底につき33組である。底2,3の出現回数の合計は3、底4から8の出現回数の合計は9だから、条件を満たす結果数は $$3\cdot35+9\cdot33=402.$$ ゆえに確率は $402/432=67/72$。

検算として、各確率の分子はそれぞれ全結果数432以下であり、約分後の値も0以上1以下である。