3金沢医科大学 2023年 1日目 数学 第3問解答・解説

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ を互いに垂直な長さ1の基底とみなし、その順の座標を用いる。このとき $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\left(\frac12,0,s\right),\qquad \overrightarrow{OQ}=\left(0,\frac13,t\right).$$ $P,Q$ は半径1の球面上にあるから $$\displaystyle \frac14+s^2=1,\qquad \frac19+t^2=1.$$ $s,t>0$ より $s=\sqrt3/2,\ t=2\sqrt2/3$。したがって $\text{ミ}=3,\text{ム}=2,\text{メ}=2,\text{モ}=2,\text{ヤ}=3$。

$OP=OQ=1$ なので、内積はなす角の余弦に等しい。直交基底より $$\displaystyle \cos\angle POQ=\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=st =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{2\sqrt2}{3} =\frac{\sqrt6}{3}.$$ 従って $\text{ユ}=6,\text{ヨ}=3$。

平面 $OPQ$ の法線ベクトルとして $$\boldsymbol n=\sqrt3\,\overrightarrow{OA}+2\sqrt2\,\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$$ を取れる。実際、$\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{OP}=\sqrt3/2-\sqrt3/2=0$、$\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{OQ}=2\sqrt2/3-2\sqrt2/3=0$。垂線のベクトルを $\overrightarrow{CH}=\lambda\boldsymbol n$ とする。$H$ が平面上にあるので $$0=\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{OH} =\boldsymbol n\cdot(\overrightarrow{OC}+\lambda\boldsymbol n) =-1+12\lambda,$$ よって $\lambda=1/12$。従って $$\displaystyle \overrightarrow{CH} =\frac{\sqrt3\,\overrightarrow{OA}+2\sqrt2\,\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}}{12},$$ すなわち $\text{ラ}=3,\text{リ}=2,\text{ル}=2,\text{レロ}=12$。

四面体 $OCPQ$ の底面を三角形 $OCP$ とする。平面 $OCP$ は $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}$ で張られるので、$Q$ からこの平面までの距離は $\overrightarrow{OB}$ 成分 $1/3$。また $OC=1$ で、$P$ から直線 $OC$ までの距離は $\overrightarrow{OA}$ 成分 $1/2$ だから、底面積は $\displaystyle [OCP]=\frac12\cdot1\cdot\frac12=\frac14$。よって $$\displaystyle V_{OCPQ}=\frac13\cdot\frac14\cdot\frac13=\frac1{36}.$$ 従って $\text{ワ}=1,\text{ヲあ}=36$。

検算として、法線候補の長さの2乗は $3+8+1=12$ で、$\overrightarrow{CH}$ は平面法線方向、かつ $H$ の平面条件から係数 $1/12$ が決まる。