4金沢医科大学 2023年 1日目 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle f(x)=x(x^4+1)^{-1/2},\qquad f'(x)=\frac{1-x^4}{(x^4+1)^{3/2}}.$$ $x\ge0$ で $f'(x)>0$ は $0\le x<1$、$f'(x)<0$ は $x>1$ である。したがって $x=1$ で極大値 $$\displaystyle f(1)=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$ をとる。よって $\text{い}=1,\text{う}=2,\text{え}=2$。

さらに微分すると $$\displaystyle f''(x)=\frac{2x^3(x^4-5)}{(x^4+1)^{5/2}}.$$ $x>0$ では分母と $2x^3$ は正なので、$f''$ の符号は $x^4-5$ の符号で変わる。よって変曲点の $x$ 座標は $x_0=\sqrt[4]{5}$。従って $\text{お}=4,\text{か}=5$。

$r=\sqrt[4]{5}$ とおくと、変曲点での座標と接線の傾きは $$\displaystyle \left(r,\frac r{\sqrt6}\right),\qquad m=f'(r)=\frac{1-5}{6^{3/2}}=-\frac2{3\sqrt6}.$$ 接線を $\displaystyle y-\frac r{\sqrt6}= -\frac2{3\sqrt6}(x-r)$ とする。$x$ 軸との交点 $A$ の $x$ 座標は $5r/2$、$y$ 軸との交点 $B$ の $y$ 座標は $5r/(3\sqrt6)$。両切片は正なので $$\displaystyle [OAB]=\frac12\cdot\frac{5r}{2}\cdot\frac{5r}{3\sqrt6} =\frac{25\sqrt5}{12\sqrt6} =\frac{25\sqrt{30}}{72}.$$ したがって $\text{きく}=25,\text{けこ}=30,\text{さし}=72$。

次に $\sqrt{x^4+1}=ax$ を考える。左辺は正、$a>0$ だから解は必ず $x>0$。両辺を平方して $u=x^2>0$ とおけば $$u^2-a^2u+1=0.$$ この二次方程式の判別式は $a^4-4$。$a>\sqrt2$ なら判別式は正で異なる2実根をもち、根の和 $a^2>0$、積1より両根とも正である。それぞれから正の $x=\sqrt{u}$ が1つずつ得られ、元の式も満たす。したがって異なる実数解は2個で、$\text{す}=2,\text{せ}=2$。

検算として、$x=1$ では $f'(1)=0$、また $x=\sqrt[4]{5}$ では $f''$ の符号が負から正へ変わる。二次方程式の正の根は積1で互いに異なり、いずれも元の式で許される正のxに対応する。