3佐賀大学 2024年 数学 第3問解答・解説

曲線の定義域は $x\ge 0$ である。$(x>0)$ では $$\displaystyle f'(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}>0,\qquad f''(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x^{3/2}}.$$ よって曲線は全域で単調増加し、$0<x<1$ では上に凸、$x>1$ では下に凸である。$x=1$ の前後で凹凸が変わり、変曲点は $(1,e)$ である。また $f(0)=1$、$x\to0+$ で $f'(x)\to+\infty$ だから、グラフは $(0,1)$ から右上へ立ち上がる。

接点の $x$ 座標を $a$ とする。直線 $y=kx$ が曲線に接する条件は $f(a)=ka,\ f'(a)=k$ である。$a>0$ より、 $$\displaystyle \frac{e^{\sqrt a}}{a}=\frac{e^{\sqrt a}}{2\sqrt a} \quad\text{より}\quad a=2\sqrt a \quad\text{より}\quad a=4.$$ したがって $k=f'(4)=e^2/4$、$P=(4,e^2)$ である。

面積を求めるため、$0<x<4$ で曲線が直線より上にあることを確かめる。$t=\sqrt{x}$ とおくと $0<t<2$ であり、 $$\displaystyle \left(\frac{e^t}{t^2}\right)'=\frac{e^t(t-2)}{t^3}<0.$$ よって $e^t/t^2>e^2/4$、すなわち $e^{\sqrt{x}}>(e^2/4)x$ である。$x=0$ でも曲線の値は $1$、直線の値は $0$ だから、求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^4\left(e^{\sqrt{x}}-\frac{e^2}{4}x\right)\,dx\\ &=2\int_0^2te^t\,dt-\frac{e^2}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4\\ &=2\left[(t-1)e^t\right]_0^2-2e^2=2. \end{aligned}$$ 接点では $f(4)=e^2=4k$、$f'(4)=k=e^2/4$ となり、求めた $k,P$ は接線条件を満たす。面積の被積分関数は $0\le x<4$ で正であり、結果 $2>0$ とも整合する。

(1) の概形（定義域は $x\ge0$）を示す。変曲点は $(1,e)$ で、左端 $(0,1)$ は定義域に含む。

(1) の概形は同梱の diagram.svg を参照。