4佐賀大学 2024年 数学 第4問解答・解説

複素数平面上に $|\alpha|=2$ を満たす点 $A(\alpha)$ がある。方程式$$|z-1|=\sqrt{2}\tag{1}$$および$$|z-\alpha|=\sqrt{5}\tag{2}$$について、次の問に答えよ。

(1) 複素数平面上で方程式(1)を満たす点 $z$ の全体が表す図形を描け。また、方程式(1)および(2)を満たす複素数 $z$ の個数が2個であることを示せ。

(2) 方程式(1)および(2)を満たす複素数 $z$ について、$$\overline{z}(\alpha-1)+z(\overline{\alpha}-1)=0$$が成り立つことを示せ。

(3) 方程式(1)および(2)を満たす異なる2つの複素数を $\beta,\gamma$ とする。2点 $B(\beta)$、$C(\gamma)$ と原点 $O$ が一直線上にあることを示せ。また、$|\beta|=b$ とおくとき、$|\gamma|$ を $b$ を用いて表せ。