1佐賀大学 2024年 数学 第1問解答・解説

OC:CA=1:3,　 |$\vec{OA}$|=4　より　 |$\vec{OC}$|=1. $\vec{OB}$ の OA 方向への射影の長さは 1 だから $\boxed{\vec a\cdot\vec b=4}$.

(2) 点Dは直線AB上にあるので s+t=1. また OD$\perp$ AB より (s$\vec a$+t$\vec b$)$\cdot$($\vec b$-$\vec a$)=0. |$\vec a$|^2=16,　 |$\vec b$|^2=2,　$\vec a$$\cdot$$\vec b$=4 を使うと -12s-2t=0. よって $\displaystyle \boxed{s=-\frac15,\quad t=\frac65}$. |$\vec{OD}$|^2=16s^2+2t^2+8st=$\displaystyle \frac85$,　　$\displaystyle \boxed{|\vec{OD}|=\frac{2\sqrt{10}}5}$.

(3) $\vec a$=(4,0),$\vec b$=(1,1) と置く（上下反転でも距離は同じ）。すると C=(1,0),　$\vec{OD}$=s$\vec a$+t$\vec b$=$\displaystyle \left(\frac25,\frac65\right)$. BC:x=1,　　 OD:y=3x なので P=(1,3). したがって $\boxed{|\vec{OP}|=\sqrt{10}}$.

OC:CA=1:3かつOA=4よりOC=1。bをOA方向へ射影した長さが1なのでa・b=|a|·1=4。次にDは直線AB上にあるから、OD=sa+tbの係数はs+t=1を満たす。またOD⊥ABより(sa+tb)・(b−a)=0。a・a=16、b・b=2、a・b=4を代入すると−12s−2t=0であり、連立してs=−1/5,t=6/5。したがって|OD|²=16s²+2t²+8st=8/5、|OD|=2√10/5。(3)の距離は座標で確認する。a=(4,0), b=(1,1)と置ける（反射した配置でも距離は同じ）。C=(1,0)、OD=(2/5,6/5)なので直線ODはy=3x、BCはx=1。P=(1,3)となり|OP|=√10。