4滋賀医科大学 2026年 数学 第4問解答・解説

$$f(x)=2x\log(x+1)-x^2$$ とおくと $$\displaystyle f'(x)=2\log(x+1)-\frac{2x^2}{x+1},\qquad f''(x)=\frac{2(1-x-x^2)}{(x+1)^2}.$$ 分母は正だから、$f''(x)=0$ の正の解は $$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$ 従って $f'$ は $0<x<\alpha$ で増加し、$x>\alpha$ で減少する。

$x=t$ で $C$ と $D$ が接する条件から $b=f'(t)$、$c=f(t)-tf'(t)$。よって $$\displaystyle b=2\log(t+1)-\frac{2t^2}{t+1},\qquad c=\frac{t^2(t-1)}{t+1}.$$

共有点を調べるため $$q_t(x)=C(x)-D(x)=f(x)-f(t)-f'(t)(x-t)$$ とおくと、$q_t(t)=q_t'(t)=0$ かつ $q_t'(x)=f'(x)-f'(t)$。

まず $0<t<\alpha$ なら $q_t$ は $t<x<\alpha$ で増加し、その後は一度極大となって $-\infty$ へ減少する。したがって接点 $t$ のほかに一つ正の交点がある場合、それは $t$ より大きい。$t=\alpha$ では $t$ のほかに正の交点はない。どちらも $t$ が大きい方という条件に合わない。

次に $t>\alpha$。このとき $q_t(\alpha)<0$ で、$0<x<\alpha$ では $q_t''=f''>0$ だから $q_t$ のグラフは下に凸である。連続延長した $f(0)=0$ を使うと $$\displaystyle q_t(0)=tf'(t)-f(t)=\frac{t^2(1-t)}{t+1}.$$ $q_t(0)>0$ のときに限り、$0<x<\alpha$ の範囲にもう一つの正の零点が一つある。これは $t<1$ と同値。以上から $$\displaystyle \frac{\sqrt5-1}{2}<t<1.$$

この範囲で小さい方の交点を $s(t)$ とする。接線 $L_t(x)=f(t)+f'(t)(x-t)$ を使えば $D-C=L_t-f$ であり、交点の間ではこれが正なので $$\displaystyle S(t)=\int_{s(t)}^t\bigl(L_t(x)-f(x)\bigr)\,dx.$$ 固定した $x<t$ に対して $$\displaystyle \frac{\partial L_t(x)}{\partial t}=f''(t)(x-t)>0$$ である。またtを増すと小さい交点は左へ動く。したがって積分区間が広がり、その中の高さも増すので、$S(t)$ は厳密に増加する。小さい交点は区間内で一意で連続に動くため、$S$ も連続である。

$t\downarrow\alpha$ では交点が合流し、$S\to0$。$t\uparrow1$ では $s(t)\to0$、接線は $L_1(x)=(2\log2-1)x$ となる。また $$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\frac16.$$ ゆえに $$\displaystyle \lim\limits _{t\uparrow1}S(t)=\int_0^1(L_1(x)-f(x))\,dx =\log2-\frac23.$$ 端点はどちらも含まれず、求める範囲は $$\displaystyle 0<S<\log2-\frac23.$$

答え

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad&x=\frac{\sqrt5-1}{2},\\ (2)\quad&b=2\log(t+1)-\frac{2t^2}{t+1},\qquad c=\frac{t^2(t-1)}{t+1},\\ (3)\quad&\frac{\sqrt5-1}{2}<t<1,\\ (4)\quad&0<S<\log2-\frac23. \end{aligned}$$