3滋賀医科大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$C$上の点を$(x,y)$とし、$s=x+y$とおく。$xy=k^{2}$より、点$(a,a)$との距離$d$について$$d^{2}=(x-a)^{2}+(y-a)^{2}=x^{2}+y^{2}-2a(x+y)+2a^{2}=(s-a)^{2}+a^{2}-2k^{2}.$$また、$s=x+y>0$であり、$$(x+y)^{2}-4xy=(x-y)^{2}\ge0$$だから$s\ge2k$である。

(1) $a/2\le k<a$のとき、$s\ge2k\ge a$であるから$(s-a)^{2}$は$s=2k$のとき最小となる。$s=2k$となるのは$(x-y)^{2}=0$、すなわち$x=y$のときに限る。このとき$xy=k^{2}$より$x=y=k$である。したがって$P=(k,k)$。

(2) $0<k<a/2$のとき、$2k<a$である。方程式$z^{2}-az+k^{2}=0$の判別式は$a^{2}-4k^{2}>0$であり、その二つの解は$$\displaystyle z=\frac{a\pm\sqrt{a^{2}-4k^{2}}}{2}.$$これらは和が$a$、積が$k^{2}$でともに正だから、二つを$x,y$とすれば$xy=k^{2}$かつ$s=a$となる点が実際に存在する。距離の式から$d^{2}\ge a^{2}-2k^{2}$であり、等号は$s=a$のときに限るので、これら二点が距離を最小にする。二解は異なり、$x$座標が大きい方を選ぶから$$\displaystyle P=\left(\frac{a+\sqrt{a^{2}-4k^{2}}}{2},\frac{a-\sqrt{a^{2}-4k^{2}}}{2}\right).$$

(3) (1)では$k$が$a/2\le k<a$を動くので、$P$は直線$y=x$上の$(a/2,a/2)$から$(a,a)$までの線分のうち$(a,a)$を除いた部分を動く。(2)では$x+y=a$であり、$x>y>0$だから、$P$は直線$y=a-x$上の$(a/2,a/2)$から$(a,0)$までの線分のうち$(a/2,a/2)$と$(a,0)$を除いた部分を動く。(1)の端点$(a/2,a/2)$は含まれる。よって軌跡は、$$\displaystyle \frac a2\le x<a,\quad y=x\quad\text{または}\quad\frac a2\le x<a,\quad y=a-x$$を満たす点全体である。