千葉大学 2012年数学第11問解答・解説

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1問題

千葉大学2012年度第11問

$xy$ 平面において, 長さ 1 の線分 AB を点 A が原点, 点 B が点 (1,0) に重なるように置く。点 A を $y$ 軸に沿って点 (0,1) まで移動させ, 線分 AB の長さを 1 に保ったまま点 B を $x$ 軸に沿って原点まで移動させる。このとき線分 AB が通る領域を $D$ とする。 $0 \leq x \leq 1$ となる実数 $x$ に対して, 点 $(x,y)$ が領域 $D$ に含まれるような $y$ の最大値を $f(x)$ とする。

(1) $f(x)$ を x の式で表せ。

(2) 領域 D を x 軸を中心に回転させた立体の体積 V を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad f(x)=(1-x^{2/3})^{3/2}\space{}(0\le x\le1)\quad$ 。 (2) $\quad V=16\pi/105\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

線分の端点を $A=(0,u), B=(v,0)$ とし $u^2+v^2=1$ 。線分上の点を $(x,y)=(\lambda v,(1-\lambda)u)$ と表す。 $0\le\lambda\le1$ で相加相乗平均より $\displaystyle x^{2/3}\le\frac{2\lambda+v^2}{3},\qquad y^{2/3}\le\frac{2(1-\lambda)+u^2}{3},$ 従って $x^{2/3}+y^{2/3}\le1$ 。等号は $0\le x\le1$ を満たす各 $x$ で $v=x^{1/3},\lambda=v^2,u=\sqrt{1-v^2}$ と選べば達成されるため、上端 $f(x)=(1-x^{2/3})^{3/2}$ 。固定したxで線分高さは端点設定により0から最大値まで連続に変わるので断面は $0\le y\le f(x)$ 。 $\displaystyle V=\pi\int_0^1 f(x)^2\,dx=\pi\int_0^1(1-x^{2/3})^3dx=3\pi\int_0^1t^2(1-t^2)^3dt=\frac{16\pi}{105}\quad(x=t^3).$

この問題で使う考え方

相加相乗平均
等号条件の構成
円板法

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