千葉大学 2012年数学第10問解答・解説

場合の数と確率数学と人間の活動（整数）

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1問題

千葉大学2012年度第10問

さいころを n 回 ( $n \geq 2$ ) 投げ, k 回目 ( $1 \leq k \leq n$ ) に出る目を $X_{k}$ とする。

(1) 積 $X_{1}X_{2}$ が 18 以下である確率を求めよ。

(2) 積 $X_{1}X_{2}\cdots X_{n}$ が偶数である確率を求めよ。

(3) 積 $X_{1}X_{2}\cdots X_{n}$ が 4 の倍数である確率を求めよ

(4) 積 $X_{1}X_{2}\cdots X_{n}$ を 3 で割ったときの余りが 1 である確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 7/9。 $(2) 1-(1/2)^n$ 。 $(3) 1-(2n+3)/(3·2^n)$ 。 $(4) (1/2)(2/3)^n$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $X_1=i$ を固定したとき $iX_2\le18$ の個数は $i=1,\ldots,6$ に対し $6,6,6,4,3,3$ 、計28通り。確率は $28/36=7/9$ 。

(2) 積が奇数となるのは全て奇数のときだけなので、偶数となる確率は $1-(1/2)^n$ 。

(3) 積が4の倍数でないのは、全て奇数、または2か6がちょうど1回出て他は奇数の場合。個数は $3^n+2n3^{n-1}$ 。よって確率は $1-(2n+3)/(3\cdot2^n)$ 。

(4) 積が3を法として1になるには、0剰余の目がなく、2剰余の出現回数が偶数であることが必要十分。非0剰余を全回選ぶ確率は $(2/3)^n$ 。その条件下では剰余1,2の反転で偶奇が入れ替わるため半数が偶数回。したがって確率は $\displaystyle \frac12(\frac23)^n$ .

各場合を同様に確からしい出目列として数え、偶数・4の倍数は補集合、3を法とする積は余りと偶数回・奇数回の一対一対応で確認した。

この問題で使う考え方

補集合
場合の数
剰余類の偶奇全単射

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