1島根大学 2015年 数学 第1問解答・解説

{}(1) 全体のマス数を $N=2^n$ とする。1回目の折り畳みで、左から $x$ 番目のマスは左から $\displaystyle f_n(x)=\min\{x,2^n+1-x\}$ 番目のマスに重なる。$2^n$ は偶数なので中央のマスはなく、各 $y=1,2,\ldots,2^{n-1}$ に対して $f_n(x)=y$ となる元のマスは $x=y$ と $x=2^n+1-y$ の2つである。したがって、折り畳み後の2つの印の位置は、それぞれ独立に $1,2,\ldots,2^{n-1}$ から一様に選ばれたものとみなせる。　 {}1回目の折り畳みで印が重なるのは $x_2=2^n+1-x_1$ のときである。各 $x_1$ に対して該当する $x_2$ は1つあり、初めから同じマスの場合はない。全事象は $2^{2n}$ 通りだから、$\displaystyle p(n,1)=\frac{2^n}{2^{2n}}=\frac{1}{2^n}$ である。　 {}(2) 1回目の折り畳み後の配置は、$K_{n-1}$ 上のゲームの初期配置と同じ確率分布をもつ。その後のゲームで $k-1$ 回の操作を要する確率が $p(n-1,k-1)$ である。$k\geq2$ では初回にすでに重なる場合は含まれず、元のゲームがちょうど $k$ 回で終了する確率はこの確率に等しい。よって $p(n,k)=p(n-1,k-1)$。　 {}(1)で得た式とこの関係から、$n\geq2$ のとき $\displaystyle p(n,2)=p(n-1,1)=\frac{1}{2^{n-1}}$。　 {}(3) $2\leq k\leq n$ について (2) を繰り返すと、$p(n,k)=p(n-1,k-1)=\cdots=p(n-k+1,1)$。したがって $\displaystyle p(n,k)=\frac{1}{2^{n-k+1}}$。これは $k=1$ の場合にも (1) と一致する。