5島根大学 2015年 数学 第5問解答・解説

(1) 距離条件より $$\sqrt{(x-2)^2+y^2}=\sqrt2\,|x-1|.$$ 両辺を二乗して整理すると $x^2-y^2=2$。よって $C:\ x^2-y^2=2$。

(2) $C$ 上では $(x-y)(x+y)=2$。$x+y=t\ne0$ より $x-y=2/t$ なので $$\displaystyle x=\frac{t}{2}+\frac1t,\qquad y=\frac{t}{2}-\frac1t.$$ したがって $\displaystyle Q\left(\frac{t}{2}+\frac1t,\frac{t}{2}-\frac1t\right)$。

(3) $2\le t\le4$ では $\displaystyle y(t)=\frac t2-\frac1t\ge0$ かつ $\displaystyle x'(t)=\frac12-\frac1{t^2}\ge\frac14>0$。従って線分 $QH$ は右向きに連続して動き、掃く面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_2^4 y(t)x'(t)\,dt\\ &=\int_2^4\left(\frac t2-\frac1t\right)\left(\frac12-\frac1{t^2}\right)dt\\ &=\left[\frac{t^2}{8}-\ln t-\frac1{2t^2}\right]_2^4 =\frac{51}{32}-\ln2. \end{aligned}$$

距離の軌跡を二乗して双曲線の式にし、直線の条件x+y=tと組み合わせて交点を一意に求める。tの区間ではyが非負でxが単調増加するため、縦線分の掃過領域をy dxで積分でき、端点を代入すると答案の面積に一致する。