3東京医科歯科大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) 第一象限で $s=\cos^2t$ とおくと $P=(s^2,(1-s)^2)$（$0\le s\le1$）。$F=(u,v)$ として $PF=PH$ を二乗し、直線 $x+y=0$ への距離 $(x+y)/\sqrt2$ を用いると $$\displaystyle \frac{(2s-1)^2}{2}-2us^2-2v(1-s)^2+u^2+v^2=0.$$ これがすべての $s$ で成り立つので係数比較により $v=1/2$、$u+v=1$。従って $F=(1/2,1/2)$。

(2) 四象限の曲線弧は $(s^2,(1-s)^2),(-s^2,(1-s)^2),(-s^2,-(1-s)^2),(s^2,-(1-s)^2)$（$0\le s\le1$）。線分掃引域の外周を表す関数を $$g(x)=(1-\sqrt{-x})^2\ (x\le0),\qquad h(x)=(1-\sqrt{x})^2\ (x\ge0)$$ とすると、その縦断面は $$\displaystyle \begin{array}{c|c} x&y\\ \hline -1\le x\le-\frac14&-g(x)\le y\le(x+1)/3\\ -\frac14\le x\le0&-g(x)\le y\le g(x)\\ 0\le x\le\frac14&3x-1\le y\le1-x\\ \frac14\le x\le1&-h(x)\le y\le1-x \end{array}$$ となる。この境界を図示する。面積は $$\displaystyle A=\int_{-1}^{-1/4}\left(\frac{x+1}{3}+g(x)\right)dx+2\int_{-1/4}^{0}g(x)dx+\int_0^{1/4}(2-4x)dx+\int_{1/4}^{1}(1-x+h(x))dx=\frac{13}{12}.$$

(3) 各縦断面は $y=0$ を含むので、回転断面は円板である。最大半径 $r(x)$ は $$r(x)=\begin{cases} (x+1)/3&(-1\le x\le-1/4),\\ g(x)&(-1/4\le x\le0),\\ 1-x&(0\le x\le1) \end{cases}$$ となる。最初の区間では $t=\sqrt{-x}$（$1/2\le t\le1$） とおくと、上端は $(1-t)(1+t)/3\ge(1-t)^2=g(x)$。正の区間では $1-x$ が下端の絶対値以上である。従って $$\displaystyle V=\pi\int_{-1}^{-1/4}\left(\frac{x+1}{3}\right)^2dx+\pi\int_{-1/4}^{0}g(x)^2dx+\pi\int_0^1(1-x)^2dx =\pi\left(\frac1{64}+\frac{19}{320}+\frac13\right)=\frac{49\pi}{120}.$$

第一象限の曲線を平方変数で表して等距離条件を恒等式比較する。線分掃引の外周を区分し面積積分を行い、回転体は各縦断面の最大半径を使って円板法で求める。