2東京医科歯科大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1) $$f'(x)=3(x^2-a).$$ $a>0$ のとき臨界点は $x=\pm\sqrt a$ であり、導関数は $x<-\sqrt a$ と $x>\sqrt a$ で正、$-\sqrt a<x<\sqrt a$ で負である。したがって $x=-\sqrt a$ で極大、$x=\sqrt a$ で極小となり、

$$f(-\sqrt a)=b+2a^{3/2},\qquad f(\sqrt a)=b-2a^{3/2}.$$

(2) $g(x)=x^3-3ax$ とおくと $g$ は奇関数である。$\displaystyle G(a)=\max\limits _{0\le x\le1}|g(x)|$ とすれば、$b\ge0$ より

$$\displaystyle M=\max\limits _{0\le x\le1}\max\{|b+g(x)|,|b-g(x)|\}=b+G(a).$$

$a\le0$ では $g'(x)=3(x^2-a)\ge0$ なので $G(a)=g(1)=1-3a$。$0\le a\le1$ では、端点と臨界点 $x=\sqrt a$ から $\displaystyle G(a)=\max\{|1-3a|,2a^{3/2}\}$ となる。$0\le a\le1/3$ では

$$1-3a-2a^{3/2}=(1-2\sqrt a)(1+\sqrt a)^2,$$

より切替点は $a=1/4$。$1/3\le a\le1$ では

$$2a^{3/2}-(3a-1)=(\sqrt a-1)^2(2\sqrt a+1)\ge0,$$

なので臨界点の値が大きい。$a\ge1$ では $g$ は $0\le x\le1$ の範囲で減少し、$G(a)=3a-1$。以上から

$$\displaystyle M=b+G(a)=\begin{cases}b+1-3a,&a\le\frac14,\\b+2a^{3/2},&\frac14\le a\le1,\\b+3a-1,&a\ge1.\end{cases}$$

(3) 任意の実数 $b$ に対し、対称な点 $x,-x$ では

$$\displaystyle \max\{|b+g(x)|,|b-g(x)|\}=|b|+|g(x)|,$$

よって $M=|b|+G(a)$。上の式より $G(a)\ge1/4$ で、等号は $a=1/4$ で成立する。したがって $M\ge1/4$。また任意の $m\ge1/4$ に対して $b=0,\ a=(1-m)/3\le1/4$ とすれば $G(a)=1-3a=m$ となるので、取りうる値の範囲は

$$\displaystyle M\ge\frac{1}{4}.$$