1東京医科歯科大学 2015年 数学 第1問解答・解説

全 $2n$ 枚のカードから $m$ 枚を選ぶ方法は $\displaystyle \binom{2n}{m}$ 通りである。記された数がすべて異なる選び方は、まず $n$ 種類から $m$ 種類を選び、各種類について2枚のうち1枚を選ぶので、$\displaystyle 2^m\binom{n}{m}$ 通りである（$m>n$ のときは0通り）。したがって $$\displaystyle P_n(m)=\frac{2^m\binom{n}{m}}{\binom{2n}{m}}\quad(1\le m\le n),\qquad P_n(m)=0\quad(n<m\le 2n).$$

(1) よって $$\displaystyle P_3(2)=\frac{2^2\binom32}{\binom62}=\frac{12}{15}=\frac45,\qquad P_3(3)=\frac{2^3\binom33}{\binom63}=\frac8{20}=\frac25,$$ また $4>3$ なので $P_3(4)=0$ である。

(2)(3) $1\le m\le n$ では $E_n(m)>0$ であり、隣り合う項の比は $$\displaystyle \frac{E_n(m+1)}{E_n(m)} =\frac{m+1}{m}\cdot2\cdot\frac{n-m}{m+1}\cdot\frac{m+1}{2n-m} =\frac{2(n-m)(m+1)}{m(2n-m)}.$$ 分母は正であり、分子と分母の差は $$2(n-m)(m+1)-m(2n-m)=2n+1-(m+1)^2$$ だから、$E_n(m+1)>E_n(m)$ となるのは $(m+1)^2<2n+1$ のとき、等しいのは $(m+1)^2=2n+1$ のとき、$E_n(m)>E_n(m+1)$ となるのは $(m+1)^2>2n+1$ のときである。この比の判定は $m=n$ にも適用でき、その場合 $E_n(n+1)=0$ である。

$n=10$ では $m=1,2,3$ で増加し、$m=4,5,\ldots,10$ で減少する（境界は $16<21<25$）。したがって $E_{10}(m)$ の最大値をとるのは $m=4$ である。

一般の $n$ について $m_0=\left[\sqrt{2n+1}\right]$ とおく。$m_0\le n$ であり、$m<m_0$ なら $(m+1)^2\le 2n+1$ なので $E_n(m)>E_n(m+1)$ ではない。一方、$m=m_0$ なら $(m_0+1)^2>2n+1$ なので $E_n(m_0)>E_n(m_0+1)$ である。よって最小のそのような自然数は $$f(n)=m_0=\left[\sqrt{2n+1}\right].$$

有利なカード選択数と全選択数から確率を求め、$\displaystyle \frac{E_n(m+1)}{E_n(m)}$の符号で最大位置と最初の減少位置を決める。