1岐阜大学 2015年 数学 第1問解答・解説

与えられた文字は (A) が5個、(G) が2個、$(N,R,W)$ が各1個である。

(1) 同じ文字を区別しないので、並べ方は $$\displaystyle \frac{10!}{5!2!}=15120$$ 通り。

(2) 「NAGARA」をひとまとまりとみなすと、残る文字は (A,A,G,W) であり、全体はそのまとまりを含む5個のものの順列となる。まとまり中の (N) は1個しかないため、同じ並べ方を重複して数えることはない。よって $$\displaystyle \frac{5!}{2!}=60$$ 通り。

(3) まず $(N,R,W)$ を置く3つの位置を選び、選んだ位置に左から $(N,R,W)$ の順に置く。残る7位置への $(A^5,G^2)$ の並べ方は $\displaystyle \frac{7!}{5!2!}$ 通りだから、積の法則により $$\displaystyle \binom{10}{3}\frac{7!}{5!2!}=120\cdot21=2520$$ 通り。位置の選び方は隣り合う場合も含むので、条件にある「連続しない場合も含める」を満たしている。

(4) 5個の (A) の間には、同じ (A) が隣り合わないために、残る5文字のうち少なくとも4個を1個ずつ入れなければならない。5個の残り文字を入れる場所は、両端と (A) の間の計6か所であり、余る1個の入れ先によって (A) の位置パターンは6通りになる。余る1個が両端のどちらかに入る2通りでは、5つの非 (A) の位置に隣り合う位置対はない。余る1個が4つの (A) 間のどこかに入る各場合には、隣り合う非 (A) の位置対がちょうど1組できる。

各パターンについて、5つの非 (A) の位置から (G) の位置を2つ選ぶ。隣り合う位置対が (c) 組あるとき、隣り合う (G) を作る選び方はその (c) 組なので、許される選び方は $\displaystyle \binom{5}{2}-c$ 通りである。残る3位置には異なる $(N,R,W)$ を置くので、その置き方は (3!) 通り。したがって全体は $$\displaystyle 2\left(\binom{5}{2}-0\right)3!+4\left(\binom{5}{2}-1\right)3! =2\cdot10\cdot6+4\cdot9\cdot6=336$$ 通り。